蓝桥杯 取球博弈
取球博弈
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题目描述
两个人玩取球的游戏。
一共有 N 个球，每人轮流取球，每次可取集合 n₁, n₂, n₃ 中的任何一个数目。
如果无法继续取球，则游戏结束。
此时，持有奇数个球的一方获胜。
如果两人都是奇数，则为平局。
假设双方都采用最聪明的取法，第一个取球的人一定能赢吗？
试编程解决这个问题。
输入描述
输入格式：
第一行 3 个正整数 n₁, n₂, n₃
(0 < n₁, n₂, n₃ < 100)，空格分开，表示每次可取的数目。
第二行 5 个正整数 x₁, x₂, ⋯, x₅
(0 < xᵢ < 1000)，空格分开，表示 5 局的初始球数。
输出描述
输出一行 5 个字符，空格分开。
分别表示每局先取球的人能否获胜。
- 能获胜则输出 +
- 如有办法逼平对手，输出 0
- 无论如何都会输，则输出 -
输入输出样例
输入
1 2 3
1 2 3 4 5
输出
+ 0 + 0 -
c++代码
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;unordered_map<string, string> mp;
vector<int> arr(3);int x, n1, n2, n3;string dfs(int a, int b) {string str = to_string(x) + " " + to_string(a % 2) + " " + to_string(b % 2);if (mp.find(str) != mp.end()) return mp[str];if (x < arr[0]) {if (a % 2 != 0 && b % 2 == 0) {mp[str] = "+"; return "+";}else if (a % 2 == 0 && b % 2 != 0) {mp[str] = "-"; return "-";}else return "0";}string sym = "-";for (int i = 0; i < 3; i++) {if (x < arr[i]) break;x -= arr[i];a += arr[i];string op = dfs(b, a);x += arr[i];a -= arr[i];if (op == "-") {mp[str] = "+"; return "+";}else if (op == "0") sym = "0";}mp[str] = sym;return sym;
}int main() {for (int i = 0; i < 3; i++) cin >> arr[i];sort(arr.begin(), arr.end());for (int i = 0; i < 5; i++) {cin >> x;if (i != 4) cout << dfs(0, 0) << " ";else cout << dfs(0, 0) << endl;}return 0;
}
题解
博弈论(递归+回溯)
定义string dfs(int a, int b)的返回值为剩余球数n，先取秋的人的当前球数a，后取球的人的当前球数b的局面情况。
如果当前剩余球数x小于n1,n2,n3的最小值，则无法继续取球，游戏结束。结算胜负。
if (x < arr[0]) {//我对arr排序了，所以第一个就是最小的。if (a % 2 != 0 && b % 2 == 0) return "+";else if (a % 2 == 0 && b % 2 != 0) return "-";else return "0";
}
我们枚举先取球的人可以取出的球数
x -= arr[i];
a += arr[i];
然后我们调用dfs(b, a)得出敌方的局面。
如果敌方必输，那么我们必赢。
如果敌方必赢，也不能说我们必输，因为我们可以不取这个数量的球，可以换个数量试试。
但是如果不管我们取什么数量的球，敌方的局面都是必赢，那么我们才是必输。
如果敌方平局，且敌方没有必输的情况，那么我们最好的局面也是平局。
string sym = "-";
for (int i = 0; i < 3; i++) {if (x < arr[i]) break;x -= arr[i];a += arr[i];string op = dfs(b, a);x += arr[i];a -= arr[i];if (op == "-") return "+"; //如果敌方必输，那么我们必赢。else if (op == "0") sym = "0";//如果敌方平局，且敌方没有必输的情况，那么我们最好的局面也是平局。
}
return sym;//不管我们取什么数量的球，敌方的局面都是必赢，那么我们才是必输。
记忆化搜索
一局的胜负由，剩余球数n，先取秋的人的当前球数a的奇偶性，后取球的人的当前球数b的奇偶性共同决定。
我们用字符串str存储这种情况，用mp存储这种情况的局面。
string str = to_string(x) + " " + to_string(a % 2) + " " + to_string(b % 2);
unordered_map<string, string> mp;
当我们再次碰到相同的局面我们直接返回存储好的值，而不是重复同样的dfs(a, b)，省下很多时间。
if (mp.find(str) != mp.end()) return mp[str];