CodeForces Round 1046(div.1)A题

C. A Good Problem

https://codeforces.com/problemset/problem/2119/C

题意：

构造一个长度为N的数组，数组最小值为l，最大值为r，满足数组中每个数与运算的值等于异或运算的值，且数组按字典序最小，就输出第k个数，不存在这样数组就输出-1

解题思路：

我们先打表看看什么情况下与运算的值等于异或运算
前面是与运算，后面是异或运算

1 0
0 2
0 1
0 5
0 0
0 6
0 1
0 9
0 0
0 10
0 1
0 13
0 0
0 14
0 1
0 17
0 0
0 18
0 1
0 21
0 0
0 22
0 1
0 25
0 0
0 26
0 1
0 29
0 0
0 30
0 1
0 33
0 0
0 34
0 1
0 37
0 0
0 38
0 1
0 41
0 0
0 42
0 1
0 45
0 0
0 46
0 1
0 49
0 0
0 50

发现当且仅当它们的值都等于0时，才相等，且与运算全部等于0
我们就要去构造数组中的值，主要在异或这个方向上。
在异或中，当两个数的值相等时（相同的数成对出现），等于0；
这里对与运算来说不能全部相同。
由于题目要求按照字典序最小来构造，我们就可以把数组的最后两位放入相同的数，这个就是我们能否构造出目标数组的判断依据

l不能为0，所以特判n=2时，一定无法构造出数组。

上面说到成对出现，那么我们可以考虑一下当n为奇数时
要使与运算等于异或运算，异或运算又不可能等于0，我们就要让与运算和异或运算等于一个特定的值，根据与运算的特性，这个数组中的值应该全部相等（如果是$6\&6\&7\&7=6$也可以，不过题目要最小的），恰巧异或运算在奇数次的情况下也等于原来的这个数。
于是n为奇数时，按照题目要求，每个数都等于l最小，可以直接输出。

代码：

常规思路：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>using namespace std;typedef long long ll;void solve() {ll n, l, r, k;cin >> n >> l >> r >> k;if (n % 2 == 1) {cout << l << "\n";return;}if(n==2){cout<<-1<<endl;return ;}ll m = -1;for(int i=l;i<=r;i++){if((l&i)==0){m=i;break;}}if (m == -1) {cout << "-1\n";return;}if (k <= n - 2) {cout << l << "\n";} else {cout << m << "\n";}
}int main() {ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int t;cin >> t;while (t--) solve();return 0;
}

然而题目数据巨大，这样肯定会超时，时间花费在找m上面，我们需要一个更快的找到对应的m
于是优化版本：

#include <iostream>
using namespace std;typedef long long ll;void solve() {ll n, l, r, k;cin >> n >> l >> r >> k;if (n % 2 == 1) {cout << l << "\n";return;}if (n == 2) {cout << -1 << "\n";return;}ll res = 1;bool found = false;while (res <= r) {if (res > l) {found = true;if (k <= n - 2) {cout << l << "\n";} else {cout << res << "\n";}break;}res *= 2;}if (!found) {cout << -1 << "\n";}
}int main() {ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int t;cin >> t;while (t--) {solve();}return 0;
}

总结：

这个题主要考察了与运算和异或运算的性质：
与运算：
1.$A\&A\&A\&A=A$
2.$A\&0=0$
3.$A为偶数：A\&(A+1)=A$
4.$A\&(A+1)\&(A+2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \&(A+N)=0$
只有当这个连续区间覆盖了所有二进制位都曾经是0的情况时，结果才为0

A=2 (010), N=2
2 & 3 & 4 = 010 & 011 & 100 = 000 ✓
A=4 (100), N=2  
4 & 5 & 6 = 100 & 101 & 110 = 100 ≠ 0 ✗

5.A & (A-1)：去掉最低位的1
6.A & -A：获取最低位的1
7.如果 A & B = 0：那么A和B没有公共的1位