【Leetcode hot 100】35.搜索插入位置

问题链接

35.搜索插入位置

问题描述

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

问题解答

核心思路：二分查找的区间定义

二分查找的本质是通过不断缩小「有效查找区间」逼近目标，需在整个过程中保持区间定义不变（循环不变量）。常见两种区间：

1. 左闭右闭区间 [left, right]：区间的左右边界均包含在查找范围内。
2. 左闭右开区间 [left, right)：区间左边界包含，右边界不包含。

1. 左闭右闭区间 [left, right]

逻辑分析

• 初始化：left = 0（左边界），right = nums.length - 1（右边界，因包含最后一个元素）。
• 循环条件：left <= right（当 left == right 时，区间仍有1个元素，需判断是否为目标）。
• 指针移动：
  • 若 nums[mid] > target：目标在左区间，缩小右边界为 right = mid - 1（mid 已排除）。
  • 若 nums[mid] < target：目标在右区间，缩小左边界为 left = mid + 1（mid 已排除）。
  • 若 nums[mid] == target：直接返回 mid（找到目标）。
• 未找到目标：循环结束时 right < left，right 指向「比 target 小的最后一个元素」，插入位置为 right + 1。

Java 代码

class Solution {public int searchInsert(int[] nums, int target) {int left = 0; // 左边界int right = nums.length - 1; // 右边界（左闭右闭，包含最后一个元素）// 循环条件：left <= right（区间内有元素时继续查找）while (left <= right) {// 计算 mid：避免 (left + right) 溢出（等价于 (left + right) / 2）int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] > target) {// 目标在左区间，缩小右边界（mid 已排除）right = mid - 1;} else if (nums[mid] < target) {// 目标在右区间，缩小左边界（mid 已排除）left = mid + 1;} else {// 找到目标，直接返回索引return mid;}}// 未找到目标：插入位置 = 比 target 小的最后一个元素的下一位（right + 1）return right + 1;}
}

2. 左闭右开区间 [left, right)

逻辑分析

• 初始化：left = 0（左边界），right = nums.length（右边界，因不包含最后一个元素）。
• 循环条件：left < right（当 left == right 时，区间为空，无需继续查找）。
• 指针移动：
  • 若 nums[mid] > target：目标在左区间，缩小右边界为 right = mid（右开区间，mid 不包含在新区间内）。
  • 若 nums[mid] < target：目标在右区间，缩小左边界为 left = mid + 1（左闭区间，mid 已排除）。
  • 若 nums[mid] == target：直接返回 mid（找到目标）。
• 未找到目标：循环结束时 left == right，此时 left（或 right）即为插入位置。

Java 代码

class Solution {public int searchInsert(int[] nums, int target) {int left = 0; // 左边界int right = nums.length; // 右边界（左闭右开，不包含最后一个元素）// 循环条件：left < right（区间为空时停止）while (left < right) {// 计算 mid：避免溢出int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] > target) {// 目标在左区间，右边界设为 mid（右开区间，mid 不包含）right = mid;} else if (nums[mid] < target) {// 目标在右区间，左边界设为 mid + 1（mid 已排除）left = mid + 1;} else {// 找到目标，返回索引return mid;}}// 未找到目标：left == right，即为插入位置return left; // 也可返回 right（两者相等）}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(log n)，二分查找每次将区间缩小一半，最多执行 log₂n 次。
• 空间复杂度：O(1)，仅用常量级变量（left、right、mid），无额外空间消耗。