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Problem: 3025. 人员站位的方案数 I

整体思路

这段代码旨在解决一个几何计数问题：给定平面上的 n 个点，计算满足特定条件的“点对” (i, j) 的数量。

根据代码的逻辑，一个点对 (i, j) 被认为是一个有效的“对子”，必须满足以下两个条件：

1. 位置关系：点 i 必须位于点 j 的左上方区域。代码中的 if ((xa < xb && ya > yb) || (xa < xb && ya == yb) || (ya > yb && xa == xb)) 定义了这个关系，即 xa <= xb 且 ya >= yb，并且 (xa, ya) 不能等于 (xb, yb)。
2. “空”矩形条件：由点 i 和点 j 作为对角顶点构成的矩形区域内（包括边界），不能包含任何其他的点 k。这个矩形区域由 xa <= x <= xb 和 yb <= y <= ya 定义。

该算法采用了一种 暴力枚举 (Brute-force Enumeration) 的方法来找到所有满足条件的点对。

其核心逻辑步骤如下：

1. 外层双重循环：枚举所有可能的点对

   • 代码使用两层嵌套的 for 循环来遍历所有可能的点对 (i, j)。
   • if (j == i) 这个判断会跳过一个点与自身构成点对的情况。
   • 这确保了算法会检查 n * (n-1) 个有序点对。

2. 检查位置关系

   • 对于每一个点对 (i, j)，代码首先检查它们是否满足 xa <= xb 且 ya >= yb 的位置关系。如果这个基本条件都不满足，那么这个点对肯定不是有效的，直接跳过，继续检查下一个点对。

3. 内层循环：检查“空”矩形条件

   • 如果位置关系满足，算法就进入了最关键的验证步骤。
   • 它启动了第三层嵌套的 for 循环，遍历所有其他的点 k（即 k != i 且 k != j）。
   • 对于每一个点 k，它会检查其坐标 (xc, yc) 是否落在了由点 i 和点 j 定义的矩形区域内，即 xa <= xc && xc <= xb && ya >= yc && yc >= yb。
   • 标志位 valid：
     • 在检查开始前，valid 被初始化为 1，假设这个矩形是“空”的。
     • 一旦在矩形内发现任何一个点 k，就说明“空”矩形条件被违反了。此时，立即将 valid 设为 0，并用 break 提前跳出内层循环，因为没有必要再检查其他的点 k 了。
   • 当内层循环结束后，如果 valid 仍然为 1，就说明矩形内确实没有任何其他点。

4. 累加结果

   • 如果一个点对 (i, j) 同时满足了位置关系和“空”矩形条件（即 valid == 1），那么就将计数器 ans 加一。

5. 返回结果

   • 在检查完所有可能的点对后，ans 中就存储了最终的总数，将其返回。

完整代码

class Solution {/*** 计算满足特定条件的点对数量。* 条件：点i在点j的左上区域，且以i,j为对角顶点的矩形内没有其他点。* @param points 一个二维数组，每个子数组 [x, y] 代表一个点的坐标。* @return 符合条件的点对的数量。*/public int numberOfPairs(int[][] points) {int n = points.length;int ans = 0;// 步骤 1: 枚举所有可能的点对 (i, j)for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {// 一个点不能与自身配对if (j == i) {continue;}int xa = points[i][0];int ya = points[i][1];int xb = points[j][0];int yb = points[j][1];// 步骤 2: 检查位置关系，点 i 是否在点 j 的左上区域 (xa <= xb, ya >= yb)if (xa <= xb && ya >= yb) {// 假设当前点对是有效的，即矩形是“空”的int valid = 1;// 步骤 3: 检查“空”矩形条件// 遍历所有其他点 kfor (int k = 0; k < n; k++) {// 跳过点 i 和点 j 本身if (k == i || k == j) {continue;}int xc = points[k][0];int yc = points[k][1];// 检查点 k 是否在由 i 和 j 定义的矩形区域内if (xa <= xc && xc <= xb && ya >= yc && yc >= yb) {// 如果找到了一个点在矩形内，则此点对 (i, j) 无效valid = 0;break; // 无需再检查其他点 k，提前退出内层循环}}// 步骤 4: 如果检查完所有点k后，矩形仍然是“空”的，则累加结果ans += valid;}}}return ans;}
}

时空复杂度

时间复杂度：O(N^3)

1. 外层循环：for (int i = 0; i < n; i++) 执行 N 次。
2. 中层循环：for (int j = 0; j < n; j++) 执行 N 次。
   • 这两层循环构成了对所有 N*N 个有序点对的枚举。
3. 内层循环：for (int k = 0; k < n; k++) 执行 N 次。
   • 这个循环用于检查矩形区域。
4. 综合分析：
   • 算法的结构是三层嵌套的循环，每一层的循环次数都与 N 相关。
   • 在最坏的情况下（例如，所有点对都满足位置关系），内层循环几乎总是会被执行。
   • 因此，总的操作次数大致是 N * N * N。
   • 所以，该算法的时间复杂度是 O(N^3)。

空间复杂度：O(1)

1. 主要存储开销：算法在执行过程中没有创建任何与输入规模 N 成比例的新的数据结构。
2. 辅助变量：只使用了 n, ans, i, j, k 和几个用于存储坐标的 int 变量。这些变量的数量是固定的，不随输入 points 数组中点的数量 N 的增加而增加。

综合分析：
算法所需的额外辅助空间是常数级别的。因此，其空间复杂度为 O(1)。