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【作者主页】Francek Chen
【专栏介绍】$\lceil$PyTorch深度学习$\rfloor$ 深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。
【GitCode】专栏资源保存在我的GitCode仓库：https://gitcode.com/Morse_Chen/PyTorch_deep_learning。

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  Adadelta是AdaGrad的另一种变体，主要区别在于前者减少了学习率适应坐标的数量。此外，广义上Adadelta被称为没有学习率，因为它使用变化量本身作为未来变化的校准。

一、算法

  简而言之，Adadelta使用两个状态变量，${\mathbf{s}}_t$用于存储梯度二阶导数的泄露平均值，$\Delta {\mathbf{x}}_t$用于存储模型本身中参数变化二阶导数的泄露平均值。请注意，为了与其他出版物和实现的兼容性，我们使用作者的原始符号和命名（没有其它真正理由让大家使用不同的希腊变量来表示在动量法、AdaGrad、RMSProp和Adadelta中用于相同用途的参数）。

  以下是Adadelta的技术细节。鉴于参数du jour是$\rho$，我们获得了与RMSProp算法类似的以下泄漏更新：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{s}}_t& =\rho {\mathbf{s}}_{t-1}+(1-\rho ){\mathbf{g}}_t^2\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$ 与RMSProp算法的区别在于，我们使用重新缩放的梯度${\mathbf{g}}_t^{\prime }$执行更新，即
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_t& ={\mathbf{x}}_{t-1}-{\mathbf{g}}_t^{\prime }\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$ 那么，调整后的梯度${\mathbf{g}}_t^{\prime }$是什么？我们可以按如下方式计算它：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{g}}_t^{\prime }& =\frac{\sqrt{\Delta {\mathbf{x}}_{t-1}+ϵ}}{\sqrt{{\mathbf{s}}_t+ϵ}}\odot {\mathbf{g}}_t\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$ 其中$\Delta {\mathbf{x}}_{t-1}$是重新缩放梯度的平方${\mathbf{g}}_t^{\prime }$的泄漏平均值。我们将$\Delta {\mathbf{x}}_0$初始化为$0$，然后在每个步骤中使用${\mathbf{g}}_t^{\prime }$更新它，即
$$\begin{array}{rl}\Delta {\mathbf{x}}_t& =\rho \Delta {\mathbf{x}}_{t-1}+(1-\rho ){{\mathbf{g}}_t^{\prime }}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

  $ϵ$（例如$10^{-5}$这样的小值）是为了保持数字稳定性而加入的。

二、代码实现

  Adadelta需要为每个变量维护两个状态变量，即${\mathbf{s}}_t$和$\Delta {\mathbf{x}}_t$。这将产生以下实现。

%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2ldef init_adadelta_states(feature_dim):s_w, s_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)delta_w, delta_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))def adadelta(params, states, hyperparams):rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5for p, (s, delta) in zip(params, states):with torch.no_grad():# In-placeupdatesvia[:]s[:] = rho * s + (1 - rho) * torch.square(p.grad)g = (torch.sqrt(delta + eps) / torch.sqrt(s + eps)) * p.gradp[:] -= gdelta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * gp.grad.data.zero_()

  对于每次参数更新，选择$\rho =0.9$相当于10个半衰期。由此我们得到：

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adadelta, init_adadelta_states(feature_dim), {'rho': 0.9}, data_iter, feature_dim);

  为了简洁实现，我们只需使用高级API中的Adadelta算法。

trainer = torch.optim.Adadelta
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'rho': 0.9}, data_iter)

小结

• Adadelta没有学习率参数。相反，它使用参数本身的变化率来调整学习率。
• Adadelta需要两个状态变量来存储梯度的二阶导数和参数的变化。
• Adadelta使用泄漏的平均值来保持对适当统计数据的运行估计。