Symmetric functions and hall polynomials 1.1

本文及后续内容为Symmetric functions and hall polynomials --I. G. MACDONALD 的翻译形式笔记

1. 分拆

本书中我们将考虑的许多对象最终将由分拆参数化。本节的目的是建立一些将在全书使用的符号和术语，并收集一些将在后面使用的关于分拆序的基本结果。

分拆

一个分拆是任何（有限或无限）非负整数的递减序列：

$$(1.1)\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_r,\dots )$$

满足：

$${\lambda }_1⩾{\lambda }_2⩾\dots ⩾{\lambda }_r⩾\dots$$

并且只包含有限多个非零项。我们将发现，不区分那些仅在末尾零串上不同的序列是方便的。因此，例如，我们将(2,1), (2,1,0), (2,1,0,0,…)视为相同的分拆。

(1.1)中的非零${\lambda }_i$称为$\lambda$的部分。部分的数量是$\lambda$的长度，记为$l(\lambda )$；部分的总和是$\lambda$的权重，记为$|\lambda |$：

$$|\lambda |={\lambda }_1+{\lambda }_2+\dots .$$

如果$|\lambda |=n$，我们说$\lambda$是$n$的一个分拆。$n$的所有分拆的集合记为${\mathcal{P}}_n$，所有分拆的集合记为$\mathcal{P}$。特别地，${\mathcal{P}}_0$由唯一一个元素组成，即零的分拆，我们记为$0$。

有时使用一个表示每个整数作为部分出现次数的符号是方便的：

$$\lambda =(1^{m_1}{2}^{m_2}\dots r^{m_r}\dots )$$

意味着恰好有$m_i$个$\lambda$的部分等于$i$。这个数

(1.2)mi=mi(λ)=Card{j:λj=i}(1.2)\quad m_{i}=m_{i}(\lambda)=\text{Card}\{j:\lambda_{j}=i\}(1.2)mi​=mi​(λ)=Card{j:λj​=i}

被称为$i$在$\lambda$中的重数。

图

一个分拆$\lambda$的图可以形式化地定义为满足$1⩽j⩽{\lambda }_i$的点集$(i,j)\in Z^2$。在绘制此类图形时，我们将采用与矩阵相同的约定：第一坐标$i$（行索引）向下递增，第二坐标$j$（列索引）从左向右递增。${}^{†}$例如，分拆(5441)的图是

顶行有5个点或节点，第二行有4个，第三行有4个，第四行有1个。更常见的是用方块代替节点，在这种情况下，图是

我们通常用相同的符号$\lambda$表示分拆$\lambda$的图。

一个分拆$\lambda$的共轭是分拆${\lambda }^{\prime }$，其图是图$\lambda$的转置，即通过主对角线反射得到的图。因此${\lambda }_i^{\prime }$是$\lambda$的第$i$列中的节点数，或等价地

(1.3)λi′=Card{j:λj⩾i}.(1.3)\quad\lambda_{i}^{\prime}=\mathrm{Card}\{j:\lambda_{j}\geqslant i\}.(1.3)λi′​=Card{j:λj​⩾i}.

特别地，${\lambda }_1^{\prime }=l(\lambda )$且${\lambda }_1=l({\lambda }^{\prime })$。显然${\lambda }^{\prime \prime }=\lambda$。

例如，(5441)的共轭是(43331)。

由(1.2)和(1.3)我们有

$$(1.4)m_i(\lambda )={\lambda }_i^{\prime }-{\lambda }_{i+1}^{\prime }.$$

对于每个分拆$\lambda$，我们定义

$$(1.5)n(\lambda )=\sum _{i⩾1}(i-1){\lambda }_i,$$

因此 $n(\lambda )$ 是通过将零附加到 $\lambda$ 图的顶行中的每个节点，将1附加到第二行中的每个节点，依此类推，所获得的数字之和。将每列中的数字相加，我们看到

$$(1.6)n(\lambda )=\sum _{i⩾1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\lambda }_i^{\prime }}{2}\right).$$

分拆的另一个偶尔有用的符号如下，由 Frobenius 提出。假设 $\lambda$ 图的主对角线由 $r$ 个节点 $(i,i)$ $(1⩽i⩽r)$组成。令 ${\alpha }_i={\lambda }_i-i$为$\lambda$的第$i$行中$(i,i)$ 右侧的节点数，对于 $1⩽i⩽r$，并令 ${\beta }_i={\lambda }_i^{\prime }-i$为$\lambda$的第$i$列中$(i,i)$下方的节点数，对于$1⩽i⩽r$。我们有 ${\alpha }_1>{\alpha }_2>\dots >{\alpha }_r⩾0$ 和 ${\beta }_1>{\beta }_2>\dots >{\beta }_r⩾0$，并且我们将分拆 $\lambda$记为
$$\lambda =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r|{\beta }_1,\dots ,{\beta }_r)=(\alpha |\beta ).$$
显然，(a|β)的共轭是(β|α)。

例如，如果 $\lambda =(5441)$，我们有$\alpha =(421)$和$\beta =(310)$。

(1.7) 设 $\lambda$是一个分拆，并令$m⩾{\lambda }_1,n⩾{\lambda }_1^{\prime }$。那么这$m+n$个数

$${\lambda }_i+n-i(1⩽i⩽n),n-1+j-{\lambda }_j^{\prime }(1⩽j⩽m)$$

是{0,1,2,…,m+n−1}\{0,1,2,\ldots,m+n-1\}{0,1,2,…,m+n−1}的一个排列。

证明。$\lambda$的图包含在$(m^n)$的图中，这是一个 n x m 矩形。用数字$0,1,...,m+n-1$对$\lambda$与其在$(m^n)$中的补集之间的边界线（图中粗线标记）的连续段进行编号，从底部开始。附加到垂直线段上的数字是${\lambda }_i+n-i$($1⩽i⩽n$)，通过转置，附加到水平线段上的数字是

$$(m+n-1)-({\lambda }_j^{\prime }+m-j)=n-1+j-{\lambda }_j^{\prime }(1⩽j⩽m).|$$

令

$$f_{\lambda ,n}(t)=\sum _{i=1}^n{t}^{{\lambda }_i+n-i}.$$

那么(1.7)等价于恒等式

$$(1.7^{\prime })f_{\lambda ,n}(t)+t^{m+n-1}{f}_{{\lambda }^{\prime },m}(t^{-1})=(1-t^{m+n})/(1-t).$$

斜图和表格

如果 $\lambda ,\mu$ 是分拆，我们写作 $\lambda \supset \mu$ 表示 $\lambda$的图包含 $\mu$ 的图，即对所有 $i⩾1$有${\lambda }_i⩾{\mu }_i$。集合的差 $\theta =\lambda -\mu$ 称为斜图。例如，如果 $\lambda =(5441)$ 且 $\mu =(432)$，则斜图 $\lambda -\mu$ 是下图中阴影区域：

斜图 $\theta$ 中的一条路径是$\theta$中方格的一个序列 $x_0,x_1,\dots ,x_m$，使得 $x_{i-1}$和$x_i$对于 $1⩽i⩽m$有一个公共边。 $\theta$的一个子集 $\phi$被称为连通的，如果$\phi$中的任何两个方格可以通过 $\phi$中的一条路径连接。$\theta$的极大连通子集本身是斜图，称为 $\theta$ 的连通分支。在上面的例子中，有三个连通分支。

斜图$\theta =\lambda -\mu$的共轭是 ${\theta }^{\prime }={\lambda }^{\prime }-{\mu }^{\prime }$。令 ${\theta }_i={\lambda }_i-{\mu }_i,{\theta }_i^{\prime }={\lambda }_i^{\prime }-{\mu }_i^{\prime },$ 且
$$|\theta |=\sum {\theta }_i=|\lambda |-|\mu |.$$

一个斜图 $\theta$ 是一个水平 m-条带（分别地，垂直 m-条带），如果 $|\theta |=m$ 且对每个 $i⩾1$ 有 ${\theta }_i^{\prime }⩽1$（分别地，${\theta }_i⩽1$ ）。换句话说，一个水平（分别地，垂直）条带在每列（分别地，行）中至多有一个方格。

如果 $\theta =\lambda -\mu$ ，则 $\theta$ 是水平条带的一个充分必要条件是序列$\lambda$和$\mu$是交错的，即 ${\lambda }_1⩾{\mu }_1⩾{\lambda }_2⩾{\mu }_2⩾\dots .$

一个斜图 $\theta$ 是一个边界条带（有些作者也称为斜钩，其他作者称为带），如果 $\theta$ 是连通的并且不包含任何 2x2 的方格块，即 $\theta$ 的连续行（或列）恰好重叠一个方格。边界条带$\theta$的长度是它包含的方格总数$|\theta |$，其高度定义为其占据的行数减一。如果我们将边界条带$\theta$视为一组节点而不是方格，那么通过用单位长度的水平或垂直线段连接相邻节点，我们得到一种阶梯，而$\theta$的高度是阶梯中垂直线段或“竖板”的数量。

如果$\lambda =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r|{\beta }_1,\dots ,{\beta }_r)$且$\mu =({\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r|{\beta }_2,\dots ,{\beta }_r),$那么$\lambda -\mu$是一个边界条带，称为$\lambda$的边界（或边缘）。

一个 （列严格的）表格 T 是一个分拆序列

$$\mu ={\lambda }^{(0)}\subset {\lambda }^{(1)}\subset \dots \subset {\lambda }^{(r)}=\lambda$$

使得每个斜图 ${\theta }^{(i)}={\lambda }^{(i)}-{\lambda }^{(i-1)}$( $1⩽i⩽r$ ) 是一个水平条带。以图形方式，T 可以通过用数字 $i$对斜图${\theta }^{(i)}$的每个方格编号来描述，对于 $1⩽i⩽r$，我们通常将表格视为以这种方式编号的斜图。插入 $\lambda -\mu$中的数字必须沿着每列严格递增（这解释了形容词“列严格”），并且沿着每行从左到右弱递增。斜图 $\lambda -\mu$ 称为表格 T 的形状，序列 $(|{\theta }^{(1)}|,...,|{\theta }^{(r)}|)$是 T 的权重。

我们也可以定义行严格表格，要求沿行严格递增且沿列弱递增，但我们不会使用它们；在本书中，表格（不加限定）将指如上定义的列严格表格。

一个标准表格是一个表格 T，它恰好包含数字$1,2,...,r$各一次，因此其权重为$(1,1,...,1)$。

分拆的加法和乘法

令$\lambda ,\mu$是分拆。我们定义$\lambda +\mu$为序列$\lambda$与$\mu$的和：

$$(\lambda +\mu {)}_i={\lambda }_i+{\mu }_i.$$

同时，我们定义$\lambda \cup \mu$为其部分由$\lambda$和$\mu$的部分按递减顺序排列而成的分拆。例如，若$\lambda =(321)$且$\mu =(22)$，则$\lambda +\mu =(541)$且$\lambda \cup \mu =(32221)$。

接下来，我们定义$\lambda \mu$为序列$\lambda ,\mu$的分量积：

$$(\lambda \mu {)}_i={\lambda }_i{\mu }_i.$$

同时，我们定义$\lambda \times \mu$为其部分为对所有$i⩽l(\lambda )$和$j⩽l(\mu )$的$\min ({\lambda }_i,{\mu }_j)$按递减顺序排列而成的分拆。

运算$+$与$\cup$互为对偶，两种乘法运算也是如此：

$$(\lambda \cup \mu {)}^{\prime }={\lambda }^{\prime }+{\mu }^{\prime },$$

(1.8)

$$(\lambda \times \mu {)}^{\prime }={\lambda }^{\prime }{\mu }^{\prime }.$$

证明。$\lambda \cup \mu$的图是通过取$\lambda$和$\mu$的图的各行并按长度递减顺序重新组装而得到的。因此，$\lambda \cup \mu$的第$k$列的长度是$\lambda$和$\mu$的第$k$列长度之和，即$(\lambda \cup \mu {)}_k^{\prime }={\lambda }_k^{\prime }+{\mu }_k^{\prime }$。

其次，$\lambda \times \mu$的第$k$列的长度等于满足${\lambda }_i⩾k$且${\mu }_j⩾k$的序对$(i,j)$的数量，因此它等于${\lambda }_k^{\prime }{\mu }_k^{\prime }$。从而$(\lambda \times \mu {)}_k^{\prime }={\lambda }_k^{\prime }{\mu }_k^{\prime }$。

序关系

令$L_n$表示集合${\mathcal{P}}_n$（n 的分拆的集合）上的逆字典序：即，$L_n$是${\mathcal{P}}_n\times {\mathcal{P}}_n$的子集，由所有$(\lambda ,\mu )$组成，使得要么$\lambda =\mu$，要么第一个非零差值${\lambda }_i-{\mu }_i$是正的。$L_n$是一个全序。例如，当$n=5$时，$L_5$将${\mathcal{P}}_5$排列为序列

$$(5),(41),(32),(31^2),(2^{2}1),(2^{1}3),(1^5).$$

${\mathcal{P}}_n$上的另一个全序是$L_n^{\prime }$，即所有$(\lambda ,\mu )$的集合，使得要么$\lambda =\mu$，要么第一个非零差值${\lambda }_i^{\ast }-{\mu }_i^{\ast }$是负的，其中${\lambda }_i^{\ast }={\lambda }_{n+1-i}$。一旦$n⩾6$，序关系$L_n,L_n^{\prime }$就是不同的。例如，如果$\lambda =(31^3)$和$\mu =(2^3)$，我们有$(\lambda ,\mu )\in L_6$且$(\mu ,\lambda )\in L_6^{\prime }$。

(1.9) 设$\lambda ,\mu \in {\mathcal{P}}_n.$那么

$$(\lambda ,\mu )\in L_n^{\prime }\iff ({\mu }^{\prime },{\lambda }^{\prime })\in L_n.$$

证明。假设$(\lambda ,\mu )\in L_n^{\prime }$且$\lambda \ne \mu .$那么对于某个整数$i⩾1$，我们有${\lambda }_i<{\mu }_i$，且对于$j>i$有${\lambda }_j={\mu }_j.$如果我们令$k={\lambda }_i$并考虑$\lambda$和$\mu$的图，我们立即看到对于$1⩽j⩽k$有${\lambda }_j^{\prime }={\mu }_j^{\prime }$，并且${\lambda }_{k+1}^{\prime }<{\mu }_{k+1}^{\prime }$，因此$({\mu }^{\prime },{\lambda }^{\prime })\in L_n$。反之类似可证。

比$L_n$或$L_n^{\prime }$都更重要的一个序是${\mathcal{P}}_n$上的自然（偏）序$N_n$（有些作者也称为优势偏序），其定义如下：

$$(\lambda ,\mu )\in N_n\iff {\lambda }_1+\dots +{\lambda }_i⩾{\mu }_1+\dots +{\mu }_i\text{对所有}i⩾1.$$

一旦 n≥6， $N_n$ 就不是一个全序。例如，分拆(313)和(23)关于 $N_6$ 是不可比的。

我们将用$\lambda ⩾\mu$代替$(\lambda ,\mu )\in N_n.$

(1.10) 设$\lambda ,\mu \in {\mathcal{P}}_n.$那么

$$\lambda ⩾\mu \Rightarrow (\lambda ,\mu )\in L_n\cap L_n^{\prime }.$$

证明。假设$\lambda ⩾\mu .$那么要么${\lambda }_1>{\mu }_1,$此时$(\lambda ,\mu )\in L_n,$要么${\lambda }_1={\mu }_1.$在那种情况下，要么${\lambda }_2>{\mu }_2,$此时再次$(\lambda ,\mu )\in L_n,$要么${\lambda }_2={\mu }_2.$以此方式继续，我们看到$(\lambda ,\mu )\in L_n.$

此外，对于每个$i⩾1$，我们有

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{i+1}+{\lambda }_{i+2}+\dots & =n-({\lambda }_1+\dots +{\lambda }_i)\\ & ⩽n-({\mu }_1+\dots +{\mu }_i)\\ & ={\mu }_{i+1}+{\mu }_{i+2}+\dots \end{array}$$

因此，与之前相同的推理表明$(\lambda ,\mu )\in L_n^{\prime }.$

注意: 通常 $N_n=L_n\cap L_n^{\prime }$不成立。例如，当$n=12$且$\lambda =(63^2),\mu =(5^2{1}^2)$时，我们有$(\lambda ,\mu )\in L_{12}\cap L_{12}^{\prime }$，但$(\lambda ,\mu )\notin N_{12}.$

(1.11) 设$\lambda ,\mu \in {\mathcal{P}}_n.$那么

$$\lambda ⩾\mu \iff {\mu }^{\prime }⩾{\lambda }^{\prime }.$$

证明。显然只需证明一个蕴含关系。那么假设${\mu }^{\prime }/⩾{\lambda }^{\prime }.$那么对于某个$i⩾1$，我们有

$${\lambda }_1^{\prime }+\dots +{\lambda }_j^{\prime }⩽{\mu }_1^{\prime }+\dots +{\mu }_j^{\prime }(1⩽j⩽i-1)$$

且

$$(1){\lambda }_1^{\prime }+\dots +{\lambda }_i^{\prime }>{\mu }_1^{\prime }+\dots +{\mu }_i^{\prime }$$

由此得出${\lambda }_i^{\prime }>{\mu }_i^{\prime }$。

令$l={\lambda }_i^{\prime },m={\mu }_i^{\prime }.$由(1)得出

$$(2){\lambda }_{i+1}^{\prime }+{\lambda }_{i+2}^{\prime }+\dots <{\mu }_{i+1}^{\prime }+{\mu }_{i+2}^{\prime }+\dots$$

现在${\lambda }_{i+1}^{\prime }+{\lambda }_{i+2}^{\prime }+\dots$等于位于$\lambda$图第$i$列右侧的节点数，因此

$${\lambda }_{i+1}^{\prime }+{\lambda }_{i+2}^{\prime }+\dots =\sum _{j=1}^l({\lambda }_j-i).$$

同样地

$${\mu }_{i+1}^{\prime }+{\mu }_{i+2}^{\prime }+\dots =\sum _{j=1}^m({\mu }_j-i).$$

因此由(2)我们有

$$(3)\sum _{j=1}^m({\mu }_j-i)>\sum _{j=1}^l({\lambda }_j-i)⩾\sum _{j=1}^m({\lambda }_j-i)$$

其中右边的不等式成立是因为 $l>m$ 且对于$1⩽j⩽l$有${\lambda }_j⩾i$。由(3)我们有

$${\mu }_1+\dots +{\mu }_m>{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_m$$

因此$\lambda \ne \mu .$