对称破局：双变量求值镜像之道

一道看似复杂的方程，竟藏着一组完美对称的数学思想🩰．

问题描述

原题重现： 若 $a\sqrt{5-b^2}+b\sqrt{5-a^2}=5$，求 $a^2+b^2$ 的值．

题目特征：

• 双变量 $a,b$ 嵌套在平方根中，结构对称但难以直接分离．
• 目标式 $a^2+b^2$ 暗示可能存在整体代换或几何意义（如圆方程）．

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破题思路

第一步：观察对称性
方程左右均为 $a$ 与 $b$ 的轮换对称式（即交换 $a,b$ 后形式不变），暗示 $a,b$ 地位平等，可能满足 $a^2=b^2$ 或存在共同表达式．

第二步：联想三角换元
由 $\sqrt{5-b^2}$ 联想到圆 $x^2+y^2=5$ 上点的坐标，可尝试设：
$$a=\sqrt{5}\sin \theta ,b=\sqrt{5}\cos \theta$$ 但代入后计算复杂，暂不采用．

💡关键破局点：

将原式视为两部分的和，并分别平方以消除根号！
令 $m=a\sqrt{5-b^2}$，$n=b\sqrt{5-a^2}$，则 $m+n=5$．

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关键推导

步骤1：平方构造

对 $m,n$ 分别平方：
$$\begin{array}{rl}{m}^2& =a^2(5-b^2)=5a^2-a^2{b}^2\text{①}\\ n^2& =b^2(5-a^2)=5b^2-a^2{b}^2\text{②}\end{array}$$

步骤2：消元与重组

由①–②得：
$$m^2-n^2=(5a^2-a^2{b}^2)-(5b^2-a^2{b}^2)=5(a^2-b^2)$$
利用平方差公式：
$$m^2-n^2=(m+n)(m-n)=5(m-n)$$
结合 $m+n=5$，得：
$$5(m-n)=5(a^2-b^2)\Rightarrow m-n=a^2-b^2\text{④}$$

步骤3：联立解方程

将③与④联立：
$$\{\begin{array}{l}m+n=5\\ m-n=a^2-b^2\end{array}$$
相加消去 $n$：
$$2m=5+(a^2-b^2)\Rightarrow m=\frac{1}{2}\left(5+a^2-b^2\right)$$

步骤4：代回原定义

由 $m=a\sqrt{5-b^2}$，代入上式：
$$a\sqrt{5-b^2}=\frac{1}{2}\left(5+a^2-b^2\right)$$
两边乘以2并移项：
$$2a\sqrt{5-b^2}-(5+a^2-b^2)=0$$
⚠️易错点：此处需将 $5+a^2-b^2$ 视为整体，并构造完全平方！

步骤5：配完全平方

观察形式：
$${\left(\sqrt{5-b^2}\right)}^2-2a\sqrt{5-b^2}+a^2=0$$
即：
$${\left(\sqrt{5-b^2}-a\right)}^2=0$$
从而：
$$\sqrt{5-b^2}=a\Rightarrow a^2=5-b^2$$
同理可得 $b^2=5-a^2$（由对称性）．

终局一击

$$a^2+b^2=(5-b^2)+b^2=5$$
或由 $a^2=5-b^2$ 直接相加：
$$\boxed{a^2+b^2=5}$$

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思想提炼：双变量对称问题的解题策略

1. 结构对称性优先

   • 若 $a,b$ 可轮换且表达式不变，优先尝试假设等值或构造对称代换．
   • 破题标志：当直接分离变量困难时，将复合式视为整体并平方消根．

2. 代数操作核心技巧

   • 平方消根：对含根式的部分平方时，注意交叉项处理．
   • 完全平方配方：当出现 $X^2\pm 2XY+Y^2$ 形式时，果断写为 $(X\pm Y{)}^2$．

3. 几何意义辅助

   • $\sqrt{5-a^2}$ 可视为圆 $x^2+y^2=5$ 上的横坐标，本题结果 $a^2+b^2=5$ 恰为圆半径平方，暗示约束条件本质为圆．

4. 推广变式

   • 若原题改为 $a\sqrt{k-b^2}+b\sqrt{k-a^2}=c$，则 $a^2+b^2=k$ 的充要条件是 $c=\sqrt{k}\cdot \sqrt{k}=k$．

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💎总结：数学的对称美，常在方程舞步中悄然绽放．掌握整体代换与结构拆解，双变量难题亦可一剑破之！