题解：P14174 【MX-X23-T4】卡常数

题解：P14174 【MX-X23-T4】卡常数

思路

首先有一个贪心，对于每个序列我们选择减去的比例尽量多的数是更优的，比如以下一个例子：

1 2
3 1
2 100 5
1 30 2

此时三个数减去的比例分别是 $\frac{1}{2},\frac{3}{10},\frac{2}{5}$，选择第 1 和 3 个数减去是最优的，答案为 300，如果减去第 2 和 3 个数，则答案为 350，并不是最优的。

接下来我们将每个序列按此规则排序，减去比例越多则越靠前。

设 $f_{i,j}$ 表示第 $i$ 个序列减去 $j$ 个数后的答案，此处选择的 $j$ 个数根据贪心是排序后的前 $j$ 个数，再设 $g_{i,j}$ 表示第 $i$ 个序列减去 $j-1$ 个数后的答案和减去 $j$ 个数后的答案的差，方便我们计算答案。

接下来先将所有 $f_{i,0}$ 加起来，接下来每次选择 $g_{i,j}$ 最大的一个序列，将答案减去 $g_{i,j}$，使用优先队列维护，此处可能有些难理解，可以结合代码理解。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int ll
using namespace std;
typedef __int128 ll;
long long n,k,x[500010],l[500010];
struct N{ll a,b;
};
vector<N> v[500010];
bool cmp(N a,N b){return a.b*b.a<b.b*a.a;
}
ll pre[500010],suf[500010],*f[500010],*g[500010];
struct E{int x,v;bool operator<(const E &n1)const{//按照g[i][j]排序，每次选择g[i][j]最大的序列 return g[x][v]<g[n1.x][n1.v];}
};
void pr(ll x){if(x/10)pr(x/10);putchar(x%10+'0');
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cin>>n>>k;for(int p=1;p<=n;p++){cin>>x[p]>>l[p];f[p]=new ll[l[p]+5];g[p]=new ll[l[p]+5];for(int i=1;i<=l[p];i++){long long x;cin>>x;v[p].push_back({x,0});}for(int i=1;i<=l[p];i++){long long b;cin>>b;v[p][i-1].b=v[p][i-1].a-b;//此处储存的是减去后剩余的比例 }sort(v[p].begin(),v[p].end(),cmp);//给比例排序 pre[0]=1;for(int i=1;i<=l[p];i++){pre[i]=pre[i-1]*v[p][i-1].b;//pre[i]表示前i个被剪的数的答案 }suf[l[p]+1]=1;for(int i=l[p];i>=1;i--){suf[i]=suf[i+1]*v[p][i-1].a;//suf[i]表示i后的没有被减的数的答案 }for(int i=0;i<=l[p];i++){f[p][i]=pre[i]*suf[i+1]*x[p];//即前i个被减去，后面的没有被减去，记得乘x[i] if(i>0)g[p][i]=f[p][i-1]-f[p][i];//计算g[i][j] }}ll ans=0;priority_queue<E> q;for(int i=1;i<=n;i++){q.push({i,1});ans+=f[i][0];//先将不减数的结果存下来 }while(!q.empty()&&k--){E t=q.top();//每次选择当前最大的g[i][j]减 q.pop();ans-=g[t.x][t.v];if(t.v<l[t.x])q.push({t.x,t.v+1});//减去后要再将下一个g[i][j]放入优先队列 }pr(ans);return 0;
}