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Davor的北极探险资金筹集：数学建模与算法优化(洛谷P4956）

news 2025/10/7 5:42:14

题目思考逻辑与分析路径

这道题目看似简单，实则蕴含着等差数列求和与整数约束优化的数学精髓。我们需要为Davor设计一个52周的资金筹集计划，满足特定数学关系。

问题本质理解

资金积累模式：每周存款构成一个7项的等差数列
- 周一：X
- 周二：X+K
- ...
- 周日：X+6K
时间跨度：52周共364天（52×7）
数学建模：总金额N与X、K的关系推导

数学建模与公式推导

周存款总额计算

每周存款构成等差数列，其总和为：

每周总和 = 7X + (0+1+2+...+6)K = 7X + 21K

52周总金额方程

总金额 N = 52 × (7X + 21K)= 364X + 1092K

变量约束条件

X ≤ 100
K > 0
X, K均为整数

算法设计与实现

解法一：双重循环枚举（基础版）

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int N;cin >> N;for(int X = 100; X >= 1; X--) {  // X从大到小枚举for(int K = 1; ; K++) {      // K从小到大枚举int total = 364*X + 1092*K;if(total == N) {cout << X << endl << K;return 0;}if(total > N) break;  // 超过则停止当前X的枚举}}return 0;
}

解法二：数学优化（单层循环）

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int N;cin >> N;for(int X = min(100, N/364); X >= 1; X--) {if((N - 364*X) % 1092 == 0) {int K = (N - 364*X) / 1092;if(K > 0) {cout << X << endl << K;return 0;}}}return 0;
}

关键考核点分析

1. 数学建模能力（⭐⭐⭐⭐⭐）

将实际问题转化为等差数列求和问题
建立正确的数学关系式（364X + 1092K = N）
理解题目对解的特殊要求（X最大、K最小）

2. 循环优化技巧（⭐⭐⭐⭐）

循环方向选择：X从大到小枚举确保X最大
提前终止条件：总和超过N时立即跳出内层循环
数学变形优化：将双重循环转为单层循环

3. 边界条件处理（⭐⭐⭐）

X的上界处理（X ≤ 100）
K的正整数约束（K > 0）
整数解的存在性保证（题目说明解必然存在）

测试用例验证

输入N	预期输出(X,K)	验证要点
1456	(1,2)	最小值测试
6188	(14,1)	中等规模
40404	(99,4)	最大X值测试
36400	(100,0)	边界检查（K需>0）
4732	(13,0)	无解情况处理（题目保证有解）

竞赛技巧总结

数学先行原则：先推导数学关系再编码
逆向枚举策略：求最大值时从上限开始枚举

计算优化技巧：

// 用乘法代替重复加法
364*X + 1092*K 优于 52*(7*X + 21*K)

输入范围分析：
- 当X=100时，最小N=364×100 + 1092×1 = 47452
- 当X=1时，最大N=364×1 + 1092×145600/1092 ≈ 145600

拓展思考

变形问题1：多解情况处理

如果题目不要求X最大K最小，如何找出所有解？

vector<pair<int,int>> solutions;
for(int X=1; X<=100; X++) {if((N - 364*X) % 1092 == 0) {int K = (N - 364*X) / 1092;if(K > 0) solutions.emplace_back(X,K);}
}