java代码随想录day50|图论理论基础

图的基本概念

        二维坐标中，两点可以连成线，多个点连成的线就构成了图。

        当然图也可以就一个节点，甚至没有节点（空图）

        1.图的种类

        一般分为有向图和无向图。

        2.度

        无向图中有几条边连接该节点，该节点就有几度。

        在有向图中，每个节点有出度和入度。

                出度：从该节点出发的边的个数。

                入度：指向该节点边的个数。

连通性

        在图中表示节点的连通情况。

        1.连通图

        在无向图中，任何两个节点都是可以到达的，我们称之为连通图 。如果有节点不能到达其他节点，则为非连通图。

        2.强连通图

        在有向图中，任何两个节点是可以相互到达的，我们称之为 强连通图。强连通图是在有向图中任何两个节点是可以相互到达。

        3.连通分量

                在无向图中的极大连通子图称之为该图的一个连通分量。

        强连通分量

                在有向图中极大强连通子图称之为该图的强连通分量。

图的构造

        如何用代码来表示一个图呢？

        一般使用邻接表、邻接矩阵 或者用类来表示。

        主要是 朴素存储、邻接表和邻接矩阵。

        1.朴素存储

        如果有8条边，我们就定义 8 * 2的数组，即有n条边就申请n * 2

        数组第一行：6 7，就表示节点6 指向 节点7。

        优缺点：

                这种表示方式的好处就是直观，把节点与节点之间关系很容易展现出来。

                但如果我们想知道 节点1 和 节点6 是否相连，我们就需要把存储空间都枚举一遍才行。

        2.邻接矩阵

        邻接矩阵 使用 二维数组来表示图结构。 邻接矩阵是从节点的角度来表示图，有多少节点就申请多大的二维数组。

       例如： grid[2][5] = 6，表示 节点 2 连接 节点5 为有向图，节点2 指向 节点5，边的权值为6。如果想表示无向图，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6，表示节点2 与 节点5 相互连通，权值为6。

        这种表达方式（邻接矩阵） 在 边少，节点多的情况下，会导致申请过大的二维数组，造成空间浪费。而且在寻找节点连接情况的时候，需要遍历整个矩阵，即 n * n 的时间复杂度，同样造成时间浪费。

        邻接矩阵的优点：

                表达方式简单，易于理解

                检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快

                适合稠密图，在边数接近顶点数平方的图中，邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。

        缺点：

                遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费 且遍历 边 的时候需要遍历整个n * n矩阵，造成时间浪费

        3.邻接表

        邻接表 使用 数组 + 链表的方式来表示。 邻接表是从边的数量来表示图，有多少边 才会申请对应大小的链表。

        邻接表的构造图：

        有多少边 邻接表才会申请多少个对应的链表节点。

        可以直观看出 使用 数组 + 链表 来表达 边的连接情况 。

        邻接表的优点：

                对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高

                遍历节点连接情况相对容易

        缺点：

                检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要 O(V)时间，V表示某节点连接其他节点的数量。

        实现相对复杂，不易理解

图的遍历方式

        图的遍历方式基本是两大类：

                深度优先搜索（dfs）

                广度优先搜索（bfs）

1.深度优先搜索理论基础

        dfs是可一个方向去搜，不到黄河不回头，直到遇到绝境了，搜不下去了，再换方向（换方向的过程就涉及到了回溯）。

关键就两点：

        1>搜索方向，是认准一个方向搜，直到碰壁之后再换方向

        2>换方向是撤销原路径，改为节点链接的下一个路径，回溯的过程。

回溯法得代码框架：

回溯算法，其实就是dfs的过程，这里给出dfs的代码框架：

深搜三部曲

1>确认递归函数，参数

void dfs(参数)

        一般情况，深搜需要 二维数组数组结构保存所有路径，需要一维数组保存单一路径，这种保存结果的数组，我们可以定义一个全局变量，避免让我们的函数参数过多。

2>确认终止条件

if (终止条件) {存放结果;return;
}

        终止添加不仅是结束本层递归，同时也是我们收获结果的时候。

        另外，其实很多dfs写法，没有写终止条件，其实终止条件 隐藏在下面dfs递归的逻辑里了，也就是不符合条件，直接不会向下递归。

3>处理目前搜索节点出发的路径

一般这里就是一个for循环的操作，去遍历目前搜索节点所能到的所有节点。

for (选择：本节点所连接的其他节点) {处理节点;dfs(图，选择的节点); // 递归回溯，撤销处理结果
}

2.广度优先搜索理论基础

        广搜的使用场景：广搜的搜索方式就适合于解决两个点之间的最短路径问题。

        广搜是从起点出发，以起始点为中心一圈一圈进行搜索，一旦遇到终点，记录之前走过的节点就是一条最短路。

 实现：

        仅仅需要一个容器，能保存我们要遍历过的元素就可以，那么用队列，还是用栈，甚至用数组，都是可以的。

        用队列的话，就是保证每一圈都是一个方向去转，例如统一顺时针或者逆时针。

        因为队列是先进先出，加入元素和弹出元素的顺序是没有改变的。

        如果用栈的话，就是第一圈顺时针遍历，第二圈逆时针遍历，第三圈有顺时针遍历。

        因为栈是先进后出，加入元素和弹出元素的顺序改变了。