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【左程云算法020】递归和master公式

news 2025/10/5 7:22:51

文章目录

从思想上理解递归
从实际上理解递归
任何递归函数都一定可以改为非递归
递归改为非递归的必要性
Master公式
- 所有子问题规模相同的递归才能用master公式，T(n) = a*T(n/b)+0(n^c),a\b\c都是常数
- 如果log(b,a) < c,复杂度为：O(n^c)
- 如果log(b,a) > c,复杂度为：O(n^log(b,a))
- 如果log(b,a) == c,复杂度为：O(n^c*logn)
- 一个补充：T(n) = a*T(n/b)+0(n*logn)，时间复杂度是O(n*((logn)的平方)),证明过程比较复杂，记住即可

视频链接
【算法讲解020【必备】递归和master公式】
在这里插入图片描述

从思想上理解递归

给定一个数组，我想用递归的写法在其中找最大值。

public class Video_020_MaxValue{
return f(arr,0,arr.length-1);
}
//arr[l...r]范围上的最大值
public static int f(int[] arr,int l,int r){
if(l==r){//说明只有一个数了，那最大值就是它本身 也叫base case 就是简单到不能再划分
return arr[l];
}
int m = (l+r)/2;//如果不止一个数，切除中点
int lmax = f(arr,l,m);//左侧的最大值求出来
int rmax = f(arr,m+1,r);//右侧的最大值求出来
return Math.max(lmax,rmax);//整体的最大值就是左边的最大值和右边的最大值求最大
}
public static void main(String[] args){
int [] arr = {3,8,7,6,4,5,1,2};
System.out.println("数组最大值："+maxValue(arr));}

在这里插入图片描述

比如求解第0-3位上的最大值

即为求f(0,3)
左边拆解为->f(0,1)
->左边拆解为f(0,0)->最大值是4
->右边拆解为f(1,1)->最大值是2

所以f(0,1)综合左最大值和右最大值，是4

右边拆解为f(2,3)
->左边拆解为f(2,2)->最大值是6
->右边拆解为f(3,3)->最大值是1

所以f(0,1)综合左最大值和右最大值，是6

所以综合最大是6
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从实际上理解递归

系统再运行递归的时候是在系统栈进行的
f(0,3)没中data base
所以求mid=1

int m = (l+r)/2;

紧接着下一行

int lmax = f(arr,l,m);

我调用了一个新的子过程
系统会把你所有的参数位，临时变量压到栈里面，等着lmax，此时这个函数就销毁了（f(0,3）就销毁了，现在要的是f(0,1）)
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f(0,1)中点是0，现在又跑不下去了
又来到了

int lmax = f(arr,l,m);

所以和上面一样
又把参数位，临时变量压到栈里面并销毁原函数（即f(0,1）)
在这里插入图片描述
现在就跑f(0,0)
正好指向database,所以说返回4，把这个返回值返回给当前的栈顶
这一行弹出来这个状态

这时候该跑
int rmax = f(arr,m+1,rmax);了
又跑不动
继续压回栈，销毁…

求f(1,1),正好中了data base，将返回值2返回栈顶，状态这一行弹出
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都具备了可以继续往下进行了

return Math.max(lmax,rmax);

返回4给栈顶，又跑不动了
再求rmax
在这里插入图片描述
继续压栈，参数位，等rmax
…

总结来说就是一旦它发现它执行不下去了，要等一个什么东西，那这是你的中间变量，参数位等等都会保存在系统栈里，等到算完后给它，它弹出，继续往下进行。

画递归调用图很重要！

任何递归函数都一定可以改为非递归

可以自己做个系统栈
但要注意二者的存储地方不同
系统栈压栈在系统栈空间
自己压栈在内存空间
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递归改为非递归的必要性

工程上几乎一定要改

因为系统栈空间很贵，除非确定数据量再大递归层数也一定不深，像归并排序，快速排序，线段树，很多的平衡树等

算法鄙视或者比赛中，能通过就不改

Master公式

所有子问题规模相同的递归才能用master公式，T(n) = a*T(n/b)+0(n^c),a\b\c都是常数

在这里插入图片描述

解释一下这个公式
a*T(n/b)
假设现在我要求l到r上的最大值，一共有n个数
我要完成整个任务，我是先调用了左侧一半的数据链，给我了一个最大值。
我又调用了右侧一半的数据链，给我了一个最大值。
对于这个问题来说，b=2，a是子过程调用了几次，左边一次右边一次，所以是两次，即a=2
0(n^c)
除了子过程调用之外，这个代码里其它行为的时间复杂度是多少。
这个问题里其它的都是O(1)的，所以这个通项公式可以写成O(1)

那这道题的公式就是
T(N) = 2*T(N/2)+O(1)
即a = 2(整个子过程调用了几次),
b = 2(调用一次数据量减少了多少),
c =0(剩余过程的时间复杂度)

master公式可以直接告诉你整个过程时间复杂度是多少，结论：