函数展开成幂级数的方法总结
引言
幂级数展开是数学分析中的重要工具，能将复杂函数表示为简单的幂级数形式。本文系统总结三类常见函数的幂级数展开方法。
一、对数函数类：见到lnx往ln(1-x)上凑
核心思想
利用已知展开式：
ln(1−x)=−∑n=1∞xnn,−1≤x<1\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \quad -1≤x< 1ln(1−x)=−n=1∑∞nxn,−1≤x<1
1.1 有ln(a+bx)型 - 提出系数a
原理：通过代数变形提取常数系数，化为标准形式。
例1：将 f(x)=ln(2+3x)f(x) = \ln(2+3x)f(x)=ln(2+3x) 展开为幂级数
解法：
- 提取系数：ln(2+3x)=ln[2(1+32x)]=ln2+ln(1+32x)\ln(2+3x) = \ln\left[2\left(1+\frac{3}{2}x\right)\right] = \ln 2 + \ln\left(1+\frac{3}{2}x\right)ln(2+3x)=ln[2(1+23x)]=ln2+ln(1+23x)
- 变量替换：令 u=−32xu = -\frac{3}{2}xu=−23x，则 ln(1+32x)=ln(1−(−u))\ln\left(1+\frac{3}{2}x\right) = \ln(1-(-u))ln(1+23x)=ln(1−(−u))
- 展开：
ln(1−u)=−∑n=1∞unn=−∑n=1∞(−32x)nn\ln(1-u) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-\frac{3}{2}x\right)^n}{n}ln(1−u)=−n=1∑∞nun=−n=1∑∞n(−23x)n - 最终结果：
f(x)=ln2−∑n=1∞(−1)n(32)nnxnf(x) = \ln 2 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\left(\frac{3}{2}\right)^n}{n}x^nf(x)=ln2−n=1∑∞n(−1)n(23)nxn
收敛域：−1≤−23x<1\quad -1≤-\frac{2}{3}x< 1−1≤−32x<1，即 −23<x≤23-\frac{2}{3}<x≤ \frac{2}{3}−32<x≤32
1.2 多项式拆分为积的形式
原理：将复杂多项式分解为简单因式的乘积，利用对数性质拆分。
例2：将 f(x)=ln(1−2x+x2)f(x) = \ln(1-2x+x^2)f(x)=ln(1−2x+x2) 展开为幂级数
解法：
- 因式分解：1−2x+x2=(1−x)21-2x+x^2 = (1-x)^21−2x+x2=(1−x)2
- 对数性质：ln(1−x)2=2ln(1−x)\ln(1-x)^2 = 2\ln(1-x)ln(1−x)2=2ln(1−x)
- 直接展开：
f(x)=2ln(1−x)=−2∑n=1∞xnnf(x) = 2\ln(1-x) = -2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}f(x)=2ln(1−x)=−2n=1∑∞nxn
收敛域：−1≤x<1-1≤x< 1−1≤x<1
1.3 多项式拆分为商的形式（1+x³型）
原理：利用代数恒等式将多项式表示为分式形式。
例3：将 f(x)=ln(1−x+x2)f(x) = \ln(1-x+x^2)f(x)=ln(1−x+x2) 展开为幂级数
解法：
- 代数恒等式识别：1−x+x2=1+x31+x1-x+x^2 = \frac{1+x^3}{1+x}1−x+x2=1+x1+x3
- 验证：(1+x)(1−x+x2)=1+x3(1+x)(1-x+x^2) = 1+x^3(1+x)(1−x+x2)=1+x3
- 对数拆分：
ln(1−x+x2)=ln(1+x3)−ln(1+x)\ln(1-x+x^2) = \ln(1+x^3) - \ln(1+x)ln(1−x+x2)=ln(1+x3)−ln(1+x) - 分别展开：
ln(1+x3)=∑n=1∞(−1)n−1nx3n\ln(1+x^3) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{3n}ln(1+x3)=n=1∑∞n(−1)n−1x3n
ln(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1nxn\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^nln(1+x)=n=1∑∞n(−1)n−1xn - 最终结果：
f(x)=∑n=1∞(−1)n−1nx3n−∑n=1∞(−1)n−1nxnf(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{3n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^nf(x)=n=1∑∞n(−1)n−1x3n−n=1∑∞n(−1)n−1xn
收敛域：−1≤x<1-1≤x< 1−1≤x<1
1.4 多项式拆分为商的形式（1-x³型）
例4：将 f(x)=ln(1+x+x2)f(x) = \ln(1+x+x^2)f(x)=ln(1+x+x2) 展开为幂级数
解法：
- 代数恒等式识别：1+x+x2=1−x31−x1+x+x^2 = \frac{1-x^3}{1-x}1+x+x2=1−x1−x3
- 验证：(1−x)(1+x+x2)=1−x3(1-x)(1+x+x^2) = 1-x^3(1−x)(1+x+x2)=1−x3
- 对数拆分：
ln(1+x+x2)=ln(1−x3)−ln(1−x)\ln(1+x+x^2) = \ln(1-x^3) - \ln(1-x)ln(1+x+x2)=ln(1−x3)−ln(1−x) - 分别展开：
ln(1−x3)=−∑n=1∞x3nn\ln(1-x^3) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n}}{n}ln(1−x3)=−n=1∑∞nx3n
ln(1−x)=−∑n=1∞xnn\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}ln(1−x)=−n=1∑∞nxn - 最终结果：
f(x)=−∑n=1∞x3nn+∑n=1∞xnnf(x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} f(x)=−n=1∑∞nx3n+n=1∑∞nxn
收敛域：−1≤x<1-1≤x< 1−1≤x<1
二、分式函数类：见到1/x往1/(1-x)上凑
核心思想
利用已知展开式：
11−x=∑n=0∞xn,∣x∣<1\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x| < 11−x1=n=0∑∞xn,∣x∣<1
2.1 有1/(a+bx)型 - 提出系数a
原理：通过提取系数化为标准形式。
例5：将 f(x)=13−2xf(x) = \frac{1}{3-2x}f(x)=3−2x1 展开为幂级数
解法：
- 提取系数：13−2x=13⋅11−23x\frac{1}{3-2x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-\frac{2}{3}x}3−2x1=31⋅1−32x1
- 变量替换：令 u=23xu = \frac{2}{3}xu=32x
- 展开：
f(x)=13⋅11−u=13∑n=0∞un=13∑n=0∞(23)nxnf(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-u} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} u^n = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n x^nf(x)=31⋅1−u1=31n=0∑∞un=31n=0∑∞(32)nxn
收敛域：∣23x∣<1\left|\frac{2}{3}x\right| < 132x<1，即 ∣x∣<32|x| < \frac{3}{2}∣x∣<23
2.2 多项式拆分型
原理：将复杂分式拆分为简单分式的和。
例6：将 f(x)=11−x2f(x) = \frac{1}{1-x^2}f(x)=1−x21 展开为幂级数
解法：
- 部分分式分解：
11−x2=1(1−x)(1+x)=12(11−x+11+x)\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{(1-x)(1+x)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}\right)1−x21=(1−x)(1+x)1=21(1−x1+1+x1) - 分别展开：
11−x=∑n=0∞xn\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n1−x1=n=0∑∞xn
11+x=∑n=0∞(−1)nxn\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n1+x1=n=0∑∞(−1)nxn - 合并：
f(x)=12[∑n=0∞xn+∑n=0∞(−1)nxn]=∑n=0∞1+(−1)n2xnf(x) = \frac{1}{2}\left[\sum_{n=0}^{\infty} x^n + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n\right] = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+(-1)^n}{2} x^nf(x)=21[n=0∑∞xn+n=0∑∞(−1)nxn]=n=0∑∞21+(−1)nxn
收敛域：∣x∣<1|x| < 1∣x∣<1
三、三角函数平方类：使用降幂公式
核心思想
利用三角恒等式降幂：
cos2x=1+cos2x2,sin2x=1−cos2x2\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}, \quad \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}cos2x=21+cos2x,sin2x=21−cos2x
例题解析
例题：已知 cos2x−1(1+x)2=∑n=0∞anxn\cos^2 x - \frac{1}{(1+x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^ncos2x−(1+x)21=∑n=0∞anxn，∣x∣<1|x| < 1∣x∣<1，求 ana_nan
解法：
- 对 cos2x\cos^2 xcos2x 使用降幂公式：
cos2x=1+cos2x2=12+12cos2x\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2xcos2x=21+cos2x=21+21cos2x - 展开 cos2x\cos 2xcos2x：
cos2x=∑n=0∞(−1)n(2x)2n(2n)!=∑n=0∞(−1)n4nx2n(2n)!\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^n x^{2n}}{(2n)!}cos2x=n=0∑∞(2n)!(−1)n(2x)2n=n=0∑∞(2n)!(−1)n4nx2n - 展开 1(1+x)2\frac{1}{(1+x)^2}(1+x)21：
1(1+x)2=−ddx(11+x)=−ddx(∑n=0∞(−1)nxn)=∑n=1∞(−1)n+1nxn−1\frac{1}{(1+x)^2} = -\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right) = -\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} n x^{n-1}(1+x)21=−dxd(1+x1)=−dxd(n=0∑∞(−1)nxn)=n=1∑∞(−1)n+1nxn−1
令 k=n−1k = n-1k=n−1，则：
1(1+x)2=∑k=0∞(−1)k(k+1)xk\frac{1}{(1+x)^2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (k+1) x^k(1+x)21=k=0∑∞(−1)k(k+1)xk - 合并结果：
cos2x−1(1+x)2=12+12∑n=0∞(−1)n4nx2n(2n)!−∑k=0∞(−1)k(k+1)xk\cos^2 x - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^n x^{2n}}{(2n)!} - \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (k+1) x^kcos2x−(1+x)21=21+21n=0∑∞(2n)!(−1)n4nx2n−k=0∑∞(−1)k(k+1)xk - 确定系数 ana_nan：
- 当 n=0n = 0n=0：a0=12+12−1=0a_0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0a0=21+21−1=0
- 当 nnn 为偶数（n=2mn = 2mn=2m）：
a2m=12⋅(−1)m4m(2m)!−(−1)2m(2m+1)=(−1)m22m−1(2m)!−(2m+1)a_{2m} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(-1)^m 4^m}{(2m)!} - (-1)^{2m}(2m+1) = \frac{(-1)^m 2^{2m-1}}{(2m)!} - (2m+1)a2m=21⋅(2m)!(−1)m4m−(−1)2m(2m+1)=(2m)!(−1)m22m−1−(2m+1) - 当 nnn 为奇数（n=2m+1n = 2m+1n=2m+1）：
a2m+1=−(−1)2m+1(2m+2)=2m+2a_{2m+1} = -(-1)^{2m+1}(2m+2) = 2m+2a2m+1=−(−1)2m+1(2m+2)=2m+2
总结
幂级数展开的关键在于识别函数类型并选择适当的变换方法：
- 对数函数：提取系数、代数拆分
- 分式函数：提取系数、部分分式
- 三角函数：降幂公式、直接展开
掌握这些基本方法能有效解决大多数幂级数展开问题。