调和函数在球上的平均值性质与Poisson公式估计

题目

题目：设 $$u$$ 是球 $$B(0,r)$$ 上的调和函数，且在边界 $$\partial B(0,r)$$ 上 $$u=g$$。利用球的 Poisson 公式，证明：

1. $$u(0)=\frac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}}{\int }_{\partial B(0,r)}g(y)dS(y)$$（平均值性质）。
2. 对于任意 $$x\in B(0,r)$$，有 $$|u(x)|\le \underset{\partial B}{\sup }|g|\cdot \frac{r+|x|}{r}{\left(\frac{r}{r-|x|}\right)}^{n-1}$$.

解决题目

证明：

由于 $$u$$ 是球 $$B(0,r)$$ 上的调和函数，且在边界上 $$u=g$$，根据球的 Poisson 公式，对于 $$x\in B^0(0,r)$$，有：
$$u(x)=\frac{r^2-|x{|}^2}{n\alpha (n)r}{\int }_{\partial B(0,r)}\frac{g(y)}{|x-y{|}^n}dS(y).$$

证明第一部分（平均值性质）：

令 $$x=0$$，则：
$$u(0)=\frac{r^2-|0{|}^2}{n\alpha (n)r}{\int }_{\partial B(0,r)}\frac{g(y)}{|0-y{|}^n}dS(y)=\frac{r^2}{n\alpha (n)r}{\int }_{\partial B(0,r)}\frac{g(y)}{|y{|}^n}dS(y).$$
由于 $$y\in \partial B(0,r)$$，有 $$|y|=r$$，所以 $$|y{|}^n=r^n$$。因此：
$$u(0)=\frac{r}{n\alpha (n)}{\int }_{\partial B(0,r)}\frac{g(y)}{r^n}dS(y)=\frac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}}{\int }_{\partial B(0,r)}g(y)dS(y).$$
这正是平均值性质。

证明第二部分（估计）：

现在证明对于任意 $$x\in B(0,r)$$，有：
$$|u(x)|\le \underset{\partial B}{\sup }|g|\cdot \frac{r+|x|}{r}{\left(\frac{r}{r-|x|}\right)}^{n-1}.$$
设 $$M=\underset{\partial B}{\sup }|g|$$，则 $$|g(y)|\le M$$ 对于所有 $$y\in \partial B(0,r)$$。从 Poisson 公式：
$$|u(x)|=\left|\frac{r^2-|x{|}^2}{n\alpha (n)r}{\int }_{\partial B(0,r)}\frac{g(y)}{|x-y{|}^n}dS(y)\right|\le \frac{r^2-|x{|}^2}{n\alpha (n)r}{\int }_{\partial B(0,r)}\frac{|g(y)|}{|x-y{|}^n}dS(y)\le \frac{r^2-|x{|}^2}{n\alpha (n)r}{\int }_{\partial B(0,r)}\frac{M}{|x-y{|}^n}dS(y).$$
根据给出的界限：
$$r-|x|=|y|-|x|\le |x-y|\le |x|+|y|=|x|+r,$$
因此有 $$|x-y|\ge r-|x|$$，从而 $$\frac{1}{|x-y{|}^n}\le \frac{1}{(r-|x|{)}^n}$$. 代入上式：
$$|u(x)|\le \frac{r^2-|x{|}^2}{n\alpha (n)r}\cdot \frac{M}{(r-|x|{)}^n}{\int }_{\partial B(0,r)}dS(y).$$
其中，$${\int }_{\partial B(0,r)}dS(y)=n\alpha (n)r^{n-1}$$ 是球面 $$\partial B(0,r)$$ 的表面积。因此：
$$|u(x)|\le \frac{r^2-|x{|}^2}{n\alpha (n)r}\cdot \frac{M}{(r-|x|{)}^n}\cdot n\alpha (n)r^{n-1}=M\frac{r^2-|x{|}^2}{r}\cdot \frac{r^{n-1}}{(r-|x|{)}^n}.$$
注意到 $$r^2-|x{|}^2=(r-|x|)(r+|x|)$$，所以：
$$|u(x)|\le M\frac{(r-|x|)(r+|x|)}{r}\cdot \frac{r^{n-1}}{(r-|x|{)}^n}=M\frac{r+|x|}{r}\cdot \frac{r^{n-1}}{(r-|x|{)}^{n-1}}=M\frac{r+|x|}{r}{\left(\frac{r}{r-|x|}\right)}^{n-1}.$$
这正是所要证明的估计。

综上，题目得证。