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【双指针专题】之快乐数

news 2025/10/4 7:49:29

一、题目描述

编写一个算法来判断一个数 n 是否是快乐数。
快乐数 定义为：
对于一个正整数，每次将该数替换为它每个位置上的数字的平方和。
然后重复这个过程直到这个数变为 1，也可能是无限循环但始终变不到 1。
如果这个过程结果为 1，那么这个数就是快乐数；如果 n 不是快乐数，则返回 false。
示例 1：
输入： n = 19  
输出： true  
解释：  
19 -> 1*1 + 9*9 = 82  
82 -> 8*8 + 2*2 = 68  
68 -> 6*6 + 8*8 = 100  
100 -> 1*1 + 0*0 + 0*0 = 1
示例 2：
输入： n = 2  
输出： false  
解释：  
2 -> 4 -> 16 -> 37 -> 58 -> 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> 4 -> 16 

二、思路引导：双指针 / 快慢指针

快乐数 的关键在于判断过程中是否进入了一个循环。我们可以用两种方式来判断：
判断是否变为 1
判断是否进入无限循环
对于第二种情况，我们可以利用 快慢指针。因为如果一个数进入了循环，快指针必然会追上慢指针。若快慢指针相遇，并且相遇位置的值是 1，则这个数是快乐数；否则就不是。

快慢指针原理

慢指针 每次执行一次平方和操作；
快指针 每次执行两次平方和操作；
如果快指针和慢指针相遇，说明数进入了循环。
如果相遇点是 1，那么这个数是快乐数；如果不是 1，则说明进入了一个死循环。

三、算法流程

步骤 1：定义平方和函数

为了判断一个数是否是快乐数，我们需要一个函数来计算该数每一位的平方和。

步骤 2：使用快慢指针

初始化慢指针 slow = n，快指针 fast = Sum(n)，其中 Sum 为平方和函数。
循环执行以下步骤，直到慢指针和快指针相遇：
慢指针执行一次平方和操作：slow = Sum(slow)
快指针执行两次平方和操作：fast = Sum(Sum(fast))
如果慢指针和快指针相遇时，值是 1，说明这是一个快乐数；否则，它不是快乐数。

四、代码实现（C++）

class Solution {
public:// 返回 n 这个数每一位上的平方和int Sum(int n){int sum = 0;// 循环提取每一位的数字while (n){int t = n % 10;   // 提取当前数字的个位sum += t * t;      // 将该数字的平方加到总和中n /= 10;           // 去掉个位数字，继续处理剩余的部分}return sum;  // 返回数字每一位的平方和}bool isHappy(int n){int slow = n, fast = Sum(n);   // 慢指针从 n 开始，快指针从平方和开始// 当慢指针和快指针相遇时，判断是否进入了循环while (slow != fast){slow = Sum(slow);             // 慢指针每次计算一次平方和fast = Sum(Sum(fast));       // 快指针每次计算两次平方和}// 如果相遇点为 1，则返回 true，表示该数是快乐数；否则返回 falsereturn slow == 1;  // 如果慢指针和快指针相遇，并且值是 1，表示该数是快乐数}
};

Sum 函数：
该函数用于计算给定数 n 每一位上的平方和。通过循环逐位提取数字，计算平方并累加。
使用 % 10 提取数字的最后一位，n /= 10 去掉当前位。

isHappy 函数：
初始化 慢指针 (slow) 为 n，快指针 (fast) 为 Sum(n)（即 n 的每位平方和）。
在 while 循环中，通过 快慢指针 逐步推进，快指针每次执行两次平方和操作，而慢指针执行一次。
如果快慢指针相遇，则表示已经进入循环。此时若值为 1，则返回 true，表示该数是快乐数；否则返回 false，表示进入了无法到达 1 的死循环。