时间复杂度与空间复杂度知识框架

算法效率概述

衡量算法效率的两个核心维度是时间复杂度和空间复杂度。时间效率反映算法执行速度，空间效率反映算法对存储资源的消耗。随着硬件存储容量的提升，现代算法设计更注重时间效率优化。斐波那契数列递归算法是典型例子，其时间效率低下（指数级复杂度），凸显复杂度分析的必要性。

时间复杂度的核心概念

时间复杂度通过数学函数描述算法运行时间与输入规模的关系，关注基本操作的执行次数而非实际时钟时间。大O渐进表示法是核心分析工具，其推导规则为：

• 用常数1替代所有加法常数项
• 仅保留函数中的最高阶项
• 去除最高阶项的系数

实际分析中，最坏情况复杂度（上界）是主要关注点。例如冒泡排序的最坏复杂度为O(N²)，二分查找为O(logN)。

空间复杂度的分析方法

空间复杂度衡量算法运行所需的临时存储空间，同样采用大O表示法。计算时需统计变量数量而非具体字节：

• 冒泡排序仅需常数级临时变量，空间复杂度O(1)
• 斐波那契数列的数组实现需要O(N)空间存储中间结果
• 递归算法的栈帧消耗与递归深度成正比，如阶乘递归的空间复杂度为O(N)

常见算法复杂度对比

效率排序（从高到低）：
O(1) > O(logN) > O(N) > O(NlogN) > O(N²) > O(2^N)
关键结论：

• 避免设计指数级复杂度的算法（如未优化的斐波那契递归）
• 排序算法中，快速排序平均时间复杂度O(NlogN)优于冒泡排序的O(N²)
• 递归算法需注意栈溢出风险，可通过尾递归优化降低空间复杂度