函数性质：命题中的抽象问题与具体构造

“数学中最优雅的证明，往往诞生于对称性的观察。” —— 某位被函数折磨秃头的数学家

🎯 问题描述

题目 (2025年北京丰台高三开学考·15)
已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，给出下列四个结论：
① 使得$f(x)+f(-x)=\sin x$恒成立的函数$f(x)$存在且有无穷多个；
② 使得$f(x)-f(-x)=x^3$恒成立的函数$f(x)$存在且有无穷多个；
③ 存在在$\mathbb{R}$上单调递减的函数$f(x)$，使得$f(x)+f(x+1)=x^3$恒成立；
④ 存在函数$f(x)$和实数$a$使得$f(x+a)+f(x)=\sin x$恒成立，且$a$有无穷多个．
其中所有正确结论的序号是______．

答案：②④

🔍 破题思路

这道题像极了函数界的"大家来找茬"，四个命题看似都穿着华丽的外衣，但只有火眼金睛才能看穿它们的本质秘密．

🧠 关键推导

命题①：美丽的错误

核心矛盾：$f(x)+f(-x)$是偶函数，而$\sin x$是奇函数．偶函数=奇函数？根本不可能！
结论：①错误．

命题②：奇函数的狂欢

构造妙招：
设$f(x)=\frac{x^3}{2}+g(x)$，其中$g(x)$是任意偶函数（比如$g(x)=x^2,\cos x$等）．
验证：
$$\begin{array}{rl}f(-x)& =-\frac{x^3}{2}+g(x)\\ f(x)-f(-x)& =(\frac{x^3}{2}+g(x))-(-\frac{x^3}{2}+g(x))=x^3\end{array}$$
由于偶函数有无限多种选择，②正确．

命题③：单调性的陷阱

矛盾点：

• 若$f(x)$单调递减，则$f(x+1)$也单调递减（函数平移不改变单调性）
• 但$f(x)+f(x+1)$会加倍递减，而$x^3$却是严格递增的！
  这就像两个人同时往左走，他们的影子却往右移动——违反规律．
  结论：③错误．

命题④：周期的魔术

神奇构造：
取$a=2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$），令$f(x)=\frac{\sin x}{2}$．验证：
$$\begin{array}{rl}f(x+a)+f(x)& =\frac{\sin (x+2k\pi )}{2}+\frac{\sin x}{2}\\ & =\frac{\sin x}{2}+\frac{\sin x}{2}=\sin x\end{array}$$
由于$k$有无限多个取值，④正确．

📚 题型通法总结

遇到函数性质综合题时，记住这个四步口诀：

1. 看身份：先判断涉及函数的奇偶性、周期性等"身份证信息"
2. 验矛盾：通过奇偶组合、单调性等验证命题是否自洽（如①的偶=奇矛盾）
3. 巧构造：存在性问题优先尝试构造特例（如②④的分解法）
4. 挖陷阱：警惕定义域限制、单调方向、周期重复等隐藏条件（如③的单调递减陷阱）

最后送大家一句函数界的"生存法则"：当题目开始画大饼时，记得用构造法把它变成可口的数学蛋糕！ 🍰