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🟦 一、隐函数微分法简介

▶ 什么是隐函数？

显函数：形如 $y=f(x)$，变量之间是显式关系。

隐函数：形如 $F(x,y)=0$，变量间不是直接表达的，需要通过等式来隐含表达，比如：

$$x^2+y^2=1\Rightarrow y=\pm \sqrt{1-x^2}$$

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🟦 二、隐函数求导的基本原理

当 $y$ 是 $x$ 的隐函数时，设 $F(x,y(x))=0$，在可微前提下，对两边 同时对 $x$ 求导：

$$\frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_x+F_y\cdot \frac{dy}{dx}=0$$

结论：

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$$

这里的 $F_x,F_y$ 是对 $x,y$ 的偏导（即分别把另一个变量当常数对待）。

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这其实是 链式法则（链式求导）在复合函数上的应用。我们逐步讲清楚。

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✅ 一、背景：隐函数的复合结构

设：

• $F(x,y)$ 是一个二元函数；
• 其中 $y=y(x)$，是 $x$ 的函数；
• 那么整个 $F(x,y(x))$ 是 $x$ 的复合函数。

我们对这个复合函数对 $x$ 求导：

$$\frac{d}{dx}F(x,y(x))$$

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✅ 二、链式法则如何应用在复合函数中？

我们把 $F$ 看成一个复合函数：

$$F(x,y(x))\text{其实是}F(u,v)，其中u=x,v=y(x)$$

所以按照链式法则：

$$\frac{d}{dx}F(x,y(x))=\frac{\partial F}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dx}=F_x+F_y\cdot \frac{dy}{dx}$$

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✅ 五、应用总结

该公式

$$\frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_x+F_y\cdot \frac{dy}{dx}$$

是隐函数微分法的基础，源自链式法则，对复合函数求导时非常关键。它也是我们推导 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$ 的核心工具。

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