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图的遍历：从深度优先到广度优先

news 2025/9/28 7:06:47

图是计算机科学中非常重要的数据结构，广泛应用于许多问题中，如社交网络分析、地图导航、路径查找、网络路由等。而图遍历是图的基本操作之一，用于系统地访问图中的每个节点。图的遍历方式主要有两种：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。这篇博客将介绍这两种图的遍历算法，并给出其实现方法和应用场景。

什么是图遍历？

图遍历（Graph Traversal）指的是访问图中所有节点（或边）的一种方法。图的遍历操作不仅需要访问每个节点，还需要确保图中的每一条边也被合适地访问过。根据遍历的顺序和方法，常见的遍历策略有两种：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

图的基本表示

在谈到图的遍历之前，我们先简要回顾一下图的常见表示方法。常见的图表示有两种：

邻接矩阵（Adjacency Matrix）：用一个二维数组 adj[i][j] 来表示从节点 i 到节点 j 是否有边。适用于边数较多的图。
邻接表（Adjacency List）：用一个链表或向量来存储每个节点的邻接节点。适用于稀疏图。

深度优先搜索（DFS）

定义

深度优先搜索（DFS）是一种优先遍历图的子节点的遍历方式。它的基本思想是：从一个起始节点出发，尽可能深入地访问未访问的节点，直到没有更多未访问的邻接节点为止，然后回溯到上一个节点，继续尝试访问其他邻接节点。

步骤

从起始节点开始访问，标记为已访问。
递归地访问该节点的所有未访问的邻接节点。
如果一个节点的所有邻接节点都已访问，回溯到父节点。

实现代码（C++）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;vector<vector<int>> graph;
vector<bool> visited;void dfs(int node) {visited[node] = true;  // 标记节点为已访问cout << node << " ";    // 访问当前节点// 遍历所有邻接节点for (int neighbor : graph[node]) {if (!visited[neighbor]) {dfs(neighbor);  // 递归访问未访问的邻接节点}}
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;  // n 为节点数，m 为边数graph.resize(n + 1);  // 初始化图visited.resize(n + 1, false);  // 初始化访问标记// 输入图的边for (int i = 0; i < m; ++i) {int u, v;cin >> u >> v;graph[u].push_back(v);graph[v].push_back(u);  // 无向图}// 从节点 1 开始进行 DFS 遍历dfs(1);return 0;
}

特点

空间复杂度：O(V)，其中 V 是图的节点数。递归调用栈的最大深度为 V。
时间复杂度：O(V + E)，其中 E 是图的边数。每个节点和边会被访问一次。

应用场景

路径查找：在某些应用中，如迷宫求解，可以使用 DFS 找到一条路径。
图的连通性：DFS 可以用来判断图是否是连通的，或者求图中的连通分量。
拓扑排序：在有向无环图（DAG）中，DFS 是实现拓扑排序的常用方法。

广度优先搜索（BFS）

定义

广度优先搜索（BFS）是一种层次遍历的策略，它从起始节点开始，首先访问所有与起始节点直接相连的节点，再访问这些节点的邻接节点，以此类推，直到遍历整个图。BFS 使用队列来实现。

步骤

从起始节点开始访问，标记为已访问。
将该节点的所有未访问的邻接节点加入队列。
从队列中取出一个节点，访问它的邻接节点，并将它们加入队列。
重复步骤3，直到队列为空。

实现代码（C++）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;vector<vector<int>> graph;
vector<bool> visited;void bfs(int start) {queue<int> q;visited[start] = true;q.push(start);while (!q.empty()) {int node = q.front();q.pop();cout << node << " ";  // 访问当前节点// 将未访问的邻接节点加入队列for (int neighbor : graph[node]) {if (!visited[neighbor]) {visited[neighbor] = true;q.push(neighbor);}}}
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;  // n 为节点数，m 为边数graph.resize(n + 1);  // 初始化图visited.resize(n + 1, false);  // 初始化访问标记// 输入图的边for (int i = 0; i < m; ++i) {int u, v;cin >> u >> v;graph[u].push_back(v);graph[v].push_back(u);  // 无向图}// 从节点 1 开始进行 BFS 遍历bfs(1);return 0;
}

特点

空间复杂度：O(V)，队列存储了最坏情况下所有节点。
时间复杂度：O(V + E)，每个节点和边都会被访问一次。

应用场景

最短路径问题：在无权图中，BFS 用来寻找从起始节点到目标节点的最短路径。
层次遍历：BFS 能够按层次遍历图，适合用于层次分析。
图的广度分析：BFS 可用于分析图的所有邻接关系。

DFS 与 BFS 的比较

特性	DFS	BFS
遍历方式	深入到子节点再回溯	按层次逐层访问
使用的数据结构	栈（递归调用栈或显式栈）	队列
时间复杂度	`O(V + E)`	`O(V + E)`
空间复杂度	`O(V)`	`O(V)`
应用场景	路径查找、拓扑排序、连通性	最短路径、层次遍历