（ST 表、博弈）洛谷 P8818 CSP-S 2022 策略游戏 题解

ST 表这种东西对我而言实在陌生。

题意

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思路

小 L 先选一个 $a_x$，聪明的小 Q 肯定会：

• $a_x>0$，她必然选一个尽量小的 $b_y$；
• $a_x<0$，她必然选一个尽量大的 $b_y$。

ans=max(ans,max(ama*(ama>=0?bmi:bma),ami*(ami<0?bma:bmi)));

可是小 L 同样聪明，作为先手，这样对他并非最优。

反过来想，当小 Q 选的最小值 $b_y>0$，小 L 肯定想选最大的 $a_x$；如果不幸地 $b_y<0$，小 L 此时只能选正数，那么小 L 肯定想选一个最小的正数来止损。

反之，当小 Q 选的最大值 $b_y<0$，小 L 肯定想选最小的 $a_x$；如果不幸地 $b_y>0$，小 L 此时只能选负数，那么小 L 肯定想选一个最大的负数来止损。

反过来想怎么保证正确性？把这些步骤正过来在模拟一遍，顺便再理一下所有步骤：

1. 小 L 直接选最大值或最小值：

   • 小 L 选了一个最大值 $a_x>0$，小 Q 无脑选最小值，否则最大值 $a_x<0$ 选最大值；
   • 小 L 选了一个最小值 $a_x<0$，小 Q 无脑选最大值，否则最小值 $a_x>0$ 选最小值。

2. 小 L 选了正数最小值或负数最大值：

   • 小 L 选了正数最小值，小 Q 选最小值；
   • 小 L 选了负数最大值，小 Q 选最大值。

如上过程均符合博弈过程，能够保证小 L 的操作让自己尽可能优。

ans=max(ans,max(ama*(ama>=0?bmi:bma),ami*(ami<0?bma:bmi)));
if(zsmi!=inf)ans=max(ans,zsmi*bmi);
if(fsma!=-inf)ans=max(ans,fsma*bma);

现在考虑如何获取：区间最大值、区间最小值、区间最小正数、区间最大负数。正常来说，这个东西就是线段树板子，$O(n\log n+m\log m+q(\log n+\log m))$ 建树加查询，对于 $n,q$ 都是 $10^5$ 绰绰有余，而且这题空间限制较宽松。

但是这个东西又不带修，用线段树还是不够优。其实有一个数据结构，可以时空复杂度 $O(n\log n)$ 预处理区间各种最值，$O(1)$ 查询—— ST 表（RMQ），用以处理静态区间最值问题的高效算法（数据结构）。ST 表的原理实则是倍增，十分巧妙。

设 $f_{i,j}$ 表示，区间 $[i,i+2^j-1]$ 的最大值。有了倍增求 lca 的经验，我们学会把 $f_{i,j}$ 表示的 $[i,i+2^j-1]$ 拆成 $[i,i+2^{j-1}-1],[i+2^{j-1},i+2^j-1]$ 两个子问题，这两个区间分别代表状态 $f_{i,j-1},f_{i+2^{j-1},j-1}$，于是：
$$f_{i,j}=\max (f_{i,j-1},f_{i+2^{j-1},j-1})$$

初始化 $f_{i,0}=a_i$，$a$ 即需要处理的数组。

开 $6$ 个 ST 表维护 $a,b$ 的最大最小值、$a$ 的正数最小值、负数最大值即可。于是时间复杂度来到 $O(n\log n+m\log m+q)$。

其实这里还没体现出 ST 表的真正优势呢。

具体细节见代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=1e5+9,M=17,inf=1e18;
ll n,m,Q;
ll a[N],b[N];
ll fama[N][M],fami[N][M];//a数组 max,min 
ll fzsmi[N][M],ffsma[N][M];//a数组 正数min,负数max 
ll fbma[N][M],fbmi[N][M];//b数组 max,min 
ll lg2[N];
void init()//预处理log2，免得多一个log 
{lg2[1]=0;lg2[2]=1;for(int i=3;i<N;i++)lg2[i]=lg2[i/2]+1;
}
int main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&Q);init();for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);fama[i][0]=fami[i][0]=a[i];fzsmi[i][0]=(a[i]>=0?a[i]:inf);ffsma[i][0]=(a[i]<0?a[i]:-inf);}for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%lld",&b[i]);fbma[i][0]=fbmi[i][0]=b[i];}for(int j=1;j<=lg2[n];j++){for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){fama[i][j]=max(fama[i][j-1],fama[i+(1<<(j-1))][j-1]);fami[i][j]=min(fami[i][j-1],fami[i+(1<<(j-1))][j-1]);fzsmi[i][j]=min(fzsmi[i][j-1],fzsmi[i+(1<<(j-1))][j-1]);ffsma[i][j]=max(ffsma[i][j-1],ffsma[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}for(int j=1;j<=lg2[m];j++){for(int i=1;i+(1<<j)-1<=m;i++){fbma[i][j]=max(fbma[i][j-1],fbma[i+(1<<(j-1))][j-1]);fbmi[i][j]=min(fbmi[i][j-1],fbmi[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}while(Q--){ll l1,r1,l2,r2,ans=-inf;scanf("%lld%lld%lld%lld",&l1,&r1,&l2,&r2);ll s1=lg2[r1-l1+1],s2=lg2[r2-l2+1];ll bma=max(fbma[l2][s2],fbma[r2-(1<<s2)+1][s2]);ll bmi=min(fbmi[l2][s2],fbmi[r2-(1<<s2)+1][s2]);ll ama=max(fama[l1][s1],fama[r1-(1<<s1)+1][s1]);ll ami=min(fami[l1][s1],fami[r1-(1<<s1)+1][s1]);ll zsmi=min(fzsmi[l1][s1],fzsmi[r1-(1<<s1)+1][s1]);ll fsma=max(ffsma[l1][s1],ffsma[r1-(1<<s1)+1][s1]);ans=max(ans,max(ama*(ama>=0?bmi:bma),ami*(ami<0?bma:bmi)));if(zsmi!=inf)ans=max(ans,zsmi*bmi);if(fsma!=-inf)ans=max(ans,fsma*bma);printf("%lld\n",ans);	}return 0;
}