论文《Inference for Iterated GMM Under Misspecification》的例子2

在论文《Inference for Iterated GMM Under Misspecification》的例子2中，作者通过一个线性工具变量（IV）模型展示了在模型误设（misspecification）下迭代GMM估计量的行为。该例子旨在说明，即使工具变量无效（违反排除限制），迭代GMM估计量仍能通过收缩映射收敛到一个伪真实参数（pseudo-true parameter），且该固定点对误设程度不敏感。

例子含义

例子2考虑一个线性IV模型：
$$Y_i=X_i{\theta }_0+{\epsilon }_i,E[Z_i{\epsilon }_i]=0$$
其中 $X_i$ 和 ${\theta }_0$ 是标量，$Z_i=(Z_{1i},Z_{2i}{)}^{\prime }$ 是两个工具变量。矩函数定义为：
$$m(W_i,\theta )={\left(Z_{1i}(Y_i-X_i\theta ),Z_{2i}(Y_i-X_i\theta )\right)}^{\prime }$$
但真实数据生成过程（DGP）存在误设：
$$Y_i=X_i+\alpha (Z_{1i}-Z_{2i})+e_i,X_i=Z_{1i}+Z_{2i}+u_i$$
其中 $Z_i\sim i.i.d.N(0,I_2)$，且 $(e_i,u_i{)}^{\prime }\sim i.i.d.N(0,\Sigma )$，$\Sigma =\left[\begin{array}{cc}1& 0.5\\ 0.5& 1\end{array}\right]$。如果 $\alpha \ne 0$，则工具变量 $Z_{1i}$ 和 $Z_{2i}$ 直接影响 $Y_i$，违反排除限制，导致矩条件不成立对于任何 $\theta$。

在误设下，GMM估计量不再收敛到真实参数 ${\theta }_0$，而是收敛到一个伪真实参数。例子显示，迭代GMM映射 $g(\varphi )$ 是一个收缩映射（收缩系数小于 $2/3$），无论 $\alpha$ 如何（即无论误设程度如何），都能保证收敛。最小化的总体准则函数 $J(g(\varphi ),\varphi )$ 有界，且固定点为 $\theta =1$（即 ${\theta }_0=1$），对误设程度不变。

公式来源和推导

GMM映射 $g(\varphi )$ 的推导

GMM映射 $g(\varphi )$ 定义为给定权重矩阵 $W(\varphi )$ 下最小化准则函数 $J(\theta ,\varphi )=m(\theta {)}^{\prime }W(\varphi {)}^{-1}m(\theta )$ 的值，其中 $m(\theta )=E[m(W_i,\theta )]$ 是总体矩条件。权重矩阵 $W(\varphi )=E[m(W_i,\varphi )m(W_i,\varphi {)}^{\prime }]$。

从DGP出发，首先计算总体矩条件 $m(\theta )$：
$$m(\theta )=E[m(W_i,\theta )]=\left(\begin{array}{c}E[Z_{1i}(Y_i-X_i\theta )]\\ E[Z_{2i}(Y_i-X_i\theta )]\end{array}\right)$$
使用DGP：
$$Y_i=X_i+\alpha (Z_{1i}-Z_{2i})+e_i,X_i=Z_{1i}+Z_{2i}+u_i$$
且 $Z_i$ 与 $e_i,u_i$ 独立。计算期望：
$$E[Z_{1i}{Y}_i]=E[Z_{1i}{X}_i]+\alpha E[Z_{1i}^2]-\alpha E[Z_{1i}{Z}_{2i}]+E[Z_{1i}{e}_i]=1+\alpha \cdot 1-\alpha \cdot 0+0=1+\alpha$$
$$E[Z_{1i}{X}_i]=E[Z_{1i}(Z_{1i}+Z_{2i}+u_i)]=1+0+0=1$$
所以：
$$E[Z_{1i}(Y_i-X_i\theta )]=(1+\alpha )-\theta \cdot 1=1+\alpha -\theta$$
类似：
$$E[Z_{2i}{Y}_i]=E[Z_{2i}{X}_i]+\alpha E[Z_{2i}{Z}_{1i}]-\alpha E[Z_{2i}^2]+E[Z_{2i}{e}_i]=1+\alpha \cdot 0-\alpha \cdot 1+0=1-\alpha$$
$$E[Z_{2i}{X}_i]=1$$
所以：
$$E[Z_{2i}(Y_i-X_i\theta )]=(1-\alpha )-\theta \cdot 1=1-\alpha -\theta$$
因此：
$$m(\theta )=\left(\begin{array}{c}1+\alpha -\theta \\ 1-\alpha -\theta \end{array}\right)$$

权重矩阵 $W(\varphi )$ 的计算更复杂，涉及二阶矩。基于DGP，作者通过代数推导得到：
$$W(\varphi )=E[m(W_i,\varphi )m(W_i,\varphi {)}^{\prime }]$$
并最终得到GMM映射的简化表达式：
$$g(\varphi )=\frac{5-7\varphi +3{\varphi }^2+{\alpha }^2(2+4\varphi )}{5-7\varphi +3{\varphi }^2+6{\alpha }^2}$$
这个表达式是通过求解一阶条件 $\frac{\partial J(\theta ,\varphi )}{\partial \theta }=0$ 得到的，其中 $J(\theta ,\varphi )=m(\theta {)}^{\prime }W(\varphi {)}^{-1}m(\theta )$。由于 $m(\theta )$ 是线性的，$J$ 是 $\theta$ 的二次型，最小化问题有闭式解。

收缩映射性质

计算 $g(\varphi )$ 的导数：
$$\frac{\partial g(\varphi )}{\partial \varphi }=\frac{(-7+6\varphi +4{\alpha }^2)D(\varphi )-N(\varphi )(-7+6\varphi )}{[D(\varphi ){]}^2}$$
其中 $N(\varphi )=5-7\varphi +3{\varphi }^2+2{\alpha }^2+4{\alpha }^2\varphi$，$D(\varphi )=5-7\varphi +3{\varphi }^2+6{\alpha }^2$。论文声称 $\left|\frac{\partial g(\varphi )}{\partial \varphi }\right|<\frac{2}{3}$ 对于所有实数 $\alpha$ 和 $\varphi$，因此 $g(\varphi )$ 是收缩映射。这确保了迭代序列收敛到唯一固定点。

固定点求解

固定点满足 $g(\varphi )=\varphi$。解方程：
$$\varphi =\frac{5-7\varphi +3{\varphi }^2+{\alpha }^2(2+4\varphi )}{5-7\varphi +3{\varphi }^2+6{\alpha }^2}$$
两边同乘分母：
$$\varphi (5-7\varphi +3{\varphi }^2+6{\alpha }^2)=5-7\varphi +3{\varphi }^2+{\alpha }^2(2+4\varphi )$$
简化后可得：
$$3{\varphi }^3-10{\varphi }^2+12\varphi +2{\alpha }^2\varphi -5-2{\alpha }^2=0$$
验证 $\varphi =1$ 是根：
$$3(1{)}^3-10(1{)}^2+12(1)+2{\alpha }^2(1)-5-2{\alpha }^2=3-10+12+2{\alpha }^2-5-2{\alpha }^2=0$$
因此固定点为 $\theta =1$，无论 $\alpha$ 如何。这意味着伪真实参数是 ${\theta }_0=1$，对误设程度不变。

准则函数值

最小化准则函数值：
$$J(g(\varphi ),\varphi )={\left(3{\alpha }^2+\frac{3}{2}{\left(\varphi -\frac{7}{6}\right)}^2+\frac{11}{24}\right)}^{-1}{\alpha }^2<\frac{1}{3}$$
有界且依赖于 $\alpha$ 但 not $\varphi$。

一般IV模型的讨论

论文还考虑一般IV模型：
$$Y_i=X_i{\theta }_0+Z_i^{\prime }\alpha +{\epsilon }_i,X_i=Z_i^{\prime }\pi +u_i$$
其中 $Z_i$ 是 $l\times 1$ 向量。如果 $\alpha \ne 0$，工具变量无效。GMM映射为：
$$g(\varphi )={\theta }_0+({\pi }^{\prime }\Sigma W(\varphi {)}^{-1}\Sigma \pi {)}^{-1}{\pi }^{\prime }\Sigma W(\varphi {)}^{-1}\Sigma \alpha$$
其中 $\Sigma =E[Z_i{Z}_i^{\prime }]$。如果 $\pi {\alpha }^{\prime }=\alpha {\pi }^{\prime }$（例如所有工具有效或 $\pi$ 与 $\alpha$ 成比例），则 $\left|\frac{\partial g(\varphi )}{\partial \varphi }\right|=0$，无需迭代。这在实践中可能近似成立，例如强工具无效但弱工具有效。

结论

例子2展示了迭代GMM在误设下的稳健性：映射是收缩的，固定点存在唯一，且准则函数有界。假设1.6（轻微误设条件）在此例中不必要的，因为收缩性对所有 $\alpha$ 成立。公式推导基于DGP的代数计算，但论文省略了详细步骤，专注于理论洞察。