【0基础学算法】前缀和（算法原理+经典例题）

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一维数组前缀和

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【模板】前缀和

题目描述

解法

解法一：暴力枚举
时间复杂度：$O(n^2)$

遍历数组求和即可，用下标0~r元素的和减去0~l元素的和，会超时。

解法二：前缀和
时间复杂度：$O(1)$
前缀和：快速求出数组中某一个连续区间的和

算法原理：
注意：使用前缀和算法的前提是数组的第一个元素下标必须从1开始
对于数组arr，{1，4，7，2，5，8, 3，6, 9}

1. 预处理一个前缀和数组dp，dp的下标也要从1开始
   dp[i]表示arr的[1, i]区间的元素和

如何预处理dp呢？
采用递推的方式，因为有$dp[1]=arr[1]$的天然已知条件，所以我们可以从左往右依次把dp的所有元素递推出来。

递推公式：
$$dp[i]=dp[i-1]+arr[i]$$

2. 使用前缀和数组dp

看图：

不难看出：
区间[l, r]的元素和为$dp[r]-dp[l-1]$

3. 代码

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;int main() 
{//读入数据int n = 0, m = 0;cin >> n >> m;vector<int> arr(n + 1);for(int i = 1; i < n + 1; ++i) cin >> arr[i];//预处理一个前缀和数组vector<long long> dp(n + 1);//long long 防溢出for(int i = 1; i < n + 1; ++i) dp[i] = dp[i-1] + arr[i];//使用前缀和数组解决问题int l = 0, r = 0;while(m--){cin >> l >> r;cout << dp[r] - dp[l-1] << endl;}return 0;
}

疑问：为什么下标要从1开始计算？

其实是为了处理边界情况，初始化递推dp时，需要用上dp[i-1]，如果下标从0开始计算，会导致越界访问，因此，我们需要一个在数组头部的辅助节点，这个节点的值必须为0，称作虚拟节点。

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二维数组前缀和

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【模板】⼆维前缀和

题目描述

解法

解法一：暴力枚举
时间复杂度：$O(n^3)$

通过遍历二维数组求得目标区间的元素和，会超时

解法二：前缀和
时间复杂度：$O(1)$

与一维数组类似，二维数组下标也从1开始计算
以一个4行3列的二维数组arr为例：

1. 预处理一个前缀和矩阵（二维数组）dp

• dp与arr一样大
• dp[i][j]表示：在arr中，从（1,1）位置到（i,j）位置区间内的元素和
  比如，（1,1）~(2,3)的区间和为该阴影区域：
  
  如何递推呢？

我们将dp划分为4个区域A、B、C、D，如图：

我们的目标是求$dp[i][j]$
$$dp[i][j]=A+B+C+D$$
直接求似乎并不好求，我们采用间接的方式：
B和C我们还需另外求，而（A+B）和（A+C）是已知的：
$$dp[i][j]=(A+B)+(A+C)+D-A$$
代入得：
$$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]+arr[i][j]-dp[i-1][j-1]$$

2. 使用前缀和矩阵dp
   求（x1,y1）~(x2,y2)
   将dp划分为4个区域A、B、C、D，如图：
   
   目标是求D区域。

同样是间接求法：
$$D=(A+B+C+D)-(A+B)-(A+C)+A$$

代入得：
$$D=dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]$$

3. 代码

注意这里二维数组的定义方式，巧用匿名对象可以省不少功夫。

#include <iostream>
#include<vector>using namespace std;int main() {//输入int n = 0, m = 0, q = 0;cin >> n >> m >> q;vector<vector<int>> arr(n+1, vector<int>(m+1));for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = 1; j <= m; ++j) cin >> arr[i][j];//预处理一个前缀和矩阵vector<vector<long long>> dp(n+1, vector<long long>(m+1));for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= m; ++j) dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + arr[i][j] - dp[i-1][j-1];//使用dp解决问题int x1 = 0, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 0;while(q--){cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;cout << dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1] << endl;}return 0;
}