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在深度学习的知识体系中，线性回归与 Softmax 回归是两大基础且关键的模型。线性回归作为回归任务的入门典范，为理解模型构建与参数优化提供了基础框架；Softmax 回归则是解决多分类问题的重要工具，是连接简单模型与复杂神经网络的桥梁。本文将结合实际应用场景，从模型原理、优化方法到损失函数，全面解析这两大模型，帮助读者夯实深度学习基础。
一、线性回归：从房价预测看回归任务本质
线性回归的核心目标是学习一个线性函数，建立输入特征与连续输出标签之间的映射关系，其典型应用场景之一便是房价预测。
（一）线性回归的模型构建
当我们看中一套房子时，通常会根据房屋的面积、卧室数量、地段等特征（输入X）来估计其价格（输出y）。线性回归通过以下公式实现这种映射：
- 单样本场景：y=wTx+b，其中x是单个样本的特征向量，w是特征权重向量，b是偏置项，
wTx表示向量w与x的内积。 - 多样本场景：y=Xw+b，其中X是包含多个样本的特征矩阵（每行代表一个样本，每列代表一个特征），w是特征权重向量，b是偏置项，y是对应样本的预测输出向量。
（二）线性回归的优化核心：梯度下降法
线性回归的训练过程，本质是寻找最优参数（w和b），使模型预测值与真实值的差距（损失）最小化。这一过程依赖于梯度下降法，其核心逻辑与优化步骤如下：
1. 梯度的定义与意义
梯度是由函数所有变量的偏导数汇总而成的向量，具有两个关键特性：
- 梯度指向函数值增加最快的方向，因此其反方向是函数值减小最快的方向，这为寻找损失最小值提供了 “方向指引”。
- 离函数最小值点越远，梯度的绝对值越大，意味着在远离最优解时，参数调整的 “步幅” 可更大；靠近最优解时，步幅会自动减小，避免越过最优解。
2. 梯度下降的迭代流程
梯度下降通过 “沿梯度反方向迭代更新参数” 实现损失最小化，具体步骤如下：
- 初始化参数：随机设定初始权重和偏置。
- 计算梯度：根据当前参数，计算损失函数对w和b的偏导数（即梯度）。
- 重复迭代：直至损失函数值收敛（变化幅度小于设定阈值）或达到预设迭代次数。
3. 梯度下降的关键变种：小批量随机梯度下降
在实际训练中，全量梯度下降（使用所有样本计算梯度）会因样本量过大导致计算效率低下，因此常用小批量随机梯度下降（Mini-Batch SGD），其核心特点是：
- 每次迭代仅使用一小部分样本（批量） 计算梯度，平衡计算效率与梯度估计的准确性。
- 批量大小是关键超参数，需合理选择：
- 批量值不能太小：过小会导致每次计算的梯度随机性强，难以稳定收敛，且无法充分利用 GPU 等硬件的并行计算能力，浪费资源。
- 批量值不能太大：过大则接近全量梯度下降，计算耗时增加，且可能陷入局部最优解，失去随机梯度的探索性。
4. 学习率的选择原则
学习率是梯度下降的另一个核心超参数，直接影响模型收敛效果：
- 学习率不要太大：过大会导致参数更新步幅过大，可能越过损失最小值点，使损失函数值震荡甚至发散。
- 学习率不要太小：过小会导致参数更新缓慢，模型收敛周期过长，且可能陷入局部最优解或鞍点。
实际应用中，常采用 “学习率衰减” 策略（如 Standard LR Schedule），即训练初期使用较大学习率加速收敛，后期逐渐减小学习率，确保稳定收敛到最优解。
二、Softmax 回归：从手写数字识别看分类任务解决方案
线性回归适用于连续值预测（回归任务），而现实中更多场景需要预测离散类别（分类任务），如手写数字识别（10 类）、蛋白质图像分类（28 类）、恶语评论分类（7 类）等。Softmax 回归正是为多分类任务设计的经典模型。
（一）回归任务与分类任务的核心差异
要理解 Softmax 回归，首先需明确回归与分类的本质区别：
| 任务类型 | 输出特点 | 核心目标 | 典型场景 |
|---|---|---|---|
| 回归任务 | 单个连续值 | 最小化预测值与真实值的绝对 / 平方误差 | 房价预测、温度预测 |
| 分类任务 | 多个离散类别 | 最大化正确类别的预测概率（或置信度） | 手写数字识别、图像分类、文本情感分析 |
例如，在 MNIST 手写数字识别任务中，模型需输出输入图像属于 “0-9” 中每个数字的概率，最终选择概率最大的类别作为预测结果；在 Kaggle 恶语评论分类任务中，需判断一条评论是否属于 “toxic（有毒）”“insult（侮辱）” 等 7 类中的某一类或多类。
（二）Softmax 回归的模型结构
Softmax 回归可视为 “单层全连接神经网络”，其结构与线性回归的核心区别在于输出层设计：
- 输入层：接收样本特征（如手写数字图像的像素值），特征数量由任务决定（如 MNIST 图像为 28×28 像素，输入特征数为 784）。
- 输出层：神经元数量等于分类任务的类别数（如 MNIST 任务输出层有 10 个神经元，对应 “0-9” 10 个类别）。
（三）Softmax 运算：将置信度转化为概率分布
Softmax 回归的核心创新是Softmax 运算，其作用是将输出层的原始置信度转化为符合概率性质的预测值（非负、总和为 1），
以原始置信度为例。
（四）分类任务的专属损失函数：交叉熵损失
在回归任务中，常用均方损失（L2 损失）或绝对损失（L1 损失），但这类损失函数在分类任务中存在梯度消失、收敛缓慢等问题。Softmax 回归通常采用交叉熵损失，其核心是 “衡量模型预测概率分布与真实标签概率分布的差距”。
三、总结：线性回归与 Softmax 回归的核心要点
- 模型定位：线性回归是回归任务的基础模型，输出连续值；Softmax 回归是多分类任务的入门模型，通过 Softmax 运算输出概率分布，本质是单层全连接神经网络。
- 优化核心：两者均依赖梯度下降法（及小批量随机梯度下降变种）寻找最优参数，关键超参数为批量大小（平衡效率与稳定性）和学习率（控制收敛速度与稳定性）。
- 损失函数：回归任务常用均方损失、L1 损失；多分类任务专属交叉熵损失，通过衡量概率分布差距实现优化。
掌握线性回归与 Softmax 回归，不仅能解决简单的回归与分类问题，更能为后续学习深度神经网络（如 CNN、Transformer）奠定基础 —— 复杂网络的本质可视为 “多层线性 / 非线性变换的堆叠”，而参数优化逻辑与损失函数设计思路，均源于这两大基础模型。