【11408学习记录】考研数学线性代数核心突破：初等变换与初等矩阵完全攻略

数学

线性代数

初等变换与初等矩阵

初等变换

1. 倍乘：一个非零常数乘矩阵的某一行（列）
2. 互换：互换矩阵中某两行（列）的位置
3. 倍加：将矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）

以上三种变换称为矩阵的初等行（列）变换，且分别称为倍乘、互换、倍加初等行（列）变换。

初等矩阵

有单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，以3阶矩阵为例：

$$E_2(k)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

该矩阵就是由单位矩阵 $E$ 的第2行（或第2列）乘k倍得到的倍乘初等矩阵。

初等矩阵的性质与重要公式

1. 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
2. 因 $|E_i(k)|=k\ne 0,|E_{ij}|=-1\ne 0,|E_{ij}(k)|=1\ne 0$ ，故初等矩阵都是可逆矩阵，且：$[E_i(k){]}^{-1}=E_i(\frac{1}{k}),E_{ij}^{-1}=E_{ij},[E_{ij}(k){]}^{-1}=E_{ij}(-k)$，其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵。
3. 若 $A$ 是可逆矩阵，则 $A$ 可以表示成有限个初等矩阵的乘积，即 $A=P_1{P}_2\cdots P_n$, 其中 $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ 均为初等矩阵。

用初等变换求逆矩阵的方法

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}A⋮E\end{array}\right]\stackrel{初等行变换}{\to }\left[\begin{array}{c}E⋮A^{-1}\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{c}A\\ E\end{array}\right]\stackrel{初等列变换}{\to }\left[\begin{array}{c}E\\ A^{-1}\end{array}\right] \end{gathered}$$

例题

设 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ 1& 1& 2\\ -1& -1& -1\end{array}\right]$，求 $A^{-1}$

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}A⋮E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}0& 2& -1& ⋮& 1& 0& 0\\ 1& 1& 2& ⋮& 0& 1& 0\\ -1& -1& -1& ⋮& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{第3行的-1倍加到第1行}{\to } \\ \left[\begin{array}{ccccccc}1& 3& 0& ⋮& 1& 0& -1\\ 1& 1& 2& ⋮& 0& 1& 0\\ -1& -1& -1& ⋮& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{第3行的1倍加到第2行}{\to } \\ \left[\begin{array}{ccccccc}1& 3& 0& ⋮& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& ⋮& 0& 1& 1\\ -1& -1& -1& ⋮& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{第2行与第3行互换}{\to } \\ \left[\begin{array}{ccccccc}1& 3& 0& ⋮& 1& 0& -1\\ -1& -1& -1& ⋮& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& ⋮& 0& 1& 1\end{array}\right]\stackrel{第1行的1倍加到第2行}{\to } \\ \left[\begin{array}{ccccccc}1& 3& 0& ⋮& 1& 0& -1\\ 0& 2& -1& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& ⋮& 0& 1& 1\end{array}\right]\stackrel{第3行的1倍加到第2行}{\to } \\ \left[\begin{array}{ccccccc}1& 3& 0& ⋮& 1& 0& -1\\ 0& 2& 0& ⋮& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& ⋮& 0& 1& 1\end{array}\right]\stackrel{第3行的-\frac{3}{2}倍加到第1行}{\to } \\ \left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& ⋮& -\frac{1}{2}& -\frac{3}{2}& -\frac{5}{2}\\ 0& 2& 0& ⋮& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& ⋮& 0& 1& 1\end{array}\right]\stackrel{第2行乘以\frac{1}{2}}{\to } \\ \left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& ⋮& -\frac{1}{2}& -\frac{3}{2}& -\frac{5}{2}\\ 0& 1& 0& ⋮& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& ⋮& 0& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}E⋮A^{-1}\end{array}\right] \end{gathered}$$

故：${A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{3}{2}& -\frac{5}{2}\\ & & \\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ & & \\ 0& 1& 1\end{array}\right]$

行阶梯型矩阵与行最简阶梯形矩阵

具有如下特征的矩阵称为行阶梯型矩阵：

1. 若有零行（即全部元素均为0的行），则零行全部都位于非零行的下方
2. 各非零行左起第一个非零元素的列指标有上至下是严格增大的

一个行阶梯型矩阵称为行最简阶梯形矩阵，如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其它元素均为0.

简单分块矩阵的逆

若 $A、B$ 均为可逆方阵，则：

$${\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ 0& B^{-1}\end{array}\right],{\left[\begin{array}{cc}0& A\\ B& 0\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0& B^{-1}\\ A^{-1}& 0\end{array}\right],$$

英语

每日一句

This has created ‘a paradox’ in that recruiting first-generation students, but then watching many of them fail, means that higher education has ‘continued to reproduce and widen, rather than close’ an achievement gap based on social class, according to the depressing beginning of a paper forthcoming in the journal Psychological Science.(2015, Reading Comprehension, Part A Text 2)

词汇

paradox: n. 自相矛盾；悖论
(be) based on …: 基于……；以……为基础
social class: 社会阶层
depressing: adj. 令人沮丧的，令人抑郁的；造成萧条的
depressed: adj. （感到）沮丧的，抑郁的；萧条的
depress: v. 压抑，使沮丧；使萧条
depression: n. 沮丧，抑郁；经济萧条
forthcoming: adj. 即将出版（或发生）的

第一步：找谓语

This has created ‘a paradox’ in that recruiting first-generation students, but then watching many of them fail, means that higher education has 'continued to reproduce and widen, rather than close’ an achievement gap based on social class, according to the depressing beginning of a paper forthcoming in the journal Psychological Science.

第二步：断句

原句中存在3处谓语，包含3件事，其谓语分别分布在以下部分：

• has created 为主句谓语
• means 为 in that 引导的原因状语从句中的谓语
• has continued 为 that 引导的宾语从句中的谓语

按照标点、引导词以及谓语可以将原句断开为以下分句：

• This has created ‘a paradox’ , according to the depressing beginning of a paper forthcoming in the journal Psychological Science.—— 主句
• in that recruiting first-generation students, but then watching many of them fail, means —— 原因状语从句
• that higher education has 'continued to reproduce and widen, rather than close’ an achievement gap based on social class—— 宾语从句

第三步：简化

主句

This has created ‘a paradox’ , according to the depressing beginning of a paper forthcoming in the journal Psychological Science.

• 主句主语部分：this
• 主句谓语部分：has created 为动词的现在完成时，后接宾语
• 主句宾语部分： ‘a paradox’
  • 不定冠词：a 修饰名词：paradox
  • 名词：paradox 为主句宾语核心词
• 介词短语部分：according to the depressing beginning of a paper forthcoming in the journal Psychological Science. 修饰主句，表示“根据……”
  • 定冠词：the 与形容词：depressing 修饰名词：beginning
  • 名词：beginning 为介词：to 的宾语
  • 介词短语：of a paper 为后置定语，修饰名词：beginning
  • 形容词词组：forthcoming in the journal Psychological Science 修饰名词：paper 表示限定

去掉主句的扩展部分，就得到了主句的核心：

• This has created ‘…… paradox’ ，…… —— 根据…… 这里已经产生了…… 悖论

原因状语从句

in that recruiting first-generation students, but then watching many of them fail, means that higher education has ‘continued to reproduce and widen, rather than close’ an achievement gap based on social class

• 从句引导词部分：in that 引导原因状语从句，修饰主句，说明原因
• 从句主语部分： recruiting first-generation students, but then watching many of them fail,
  • 形容词：first-generation 修饰名词：students
  • 名词：students 作为非谓语动词：recruiting 的宾语
  • 并列连词：but 连接两个非谓语动词词组，构成并列结构，表示转折
  • 介词短语：of them 作为后置定语，修饰代词：many，表示范围
  • 代词：many 为非谓语动词：watching 的宾语
  • 形容词：fail 为many 的补足语
• 从句谓语部分：means 为及物动词，后接宾语
• 从句宾语部分：that higher education has ‘continued to reproduce and widen, rather than close’ an achievement gap based on social class 为 that 引导的宾语从句，作为动词：means 的宾语

去掉从句扩展部分，就得到了从句的核心：

• in that recruiting …… students, but …… watching many …… fail, means …… —— 在招募……学生，但是……看着许多……失败，意味着……

宾语从句

that higher education has ‘continued to reproduce and widen, rather than close’ an achievement gap based on social class

• 从句引导词：that 引导宾语从句，作为动词：means 的宾语
• 从句主语部分：higher education
  • 形容词比较级：higher 修饰名词：education 表示“更高”
  • 名词：education 为从句主语核心词
• 从句谓语部分：has 'continued 为不及物动词的现在完成时，
• 从句宾语部分：to reproduce and widen, rather than close’ an achievement gap based on social class
  • 非谓语动词词组：to reproduce and widen, rather than close ’ an achievement gap based on social class 为动词：has continued 的宾语
    • 不定冠词：an 和名词：achievement 共同修饰名词：gap
    • 名词：gap 为动词：close 的宾语
    • 非谓语动词词组：based on social class 修饰名词：gap 表示被动

去掉从句扩展部分，就得到了从句的核心：

• that …… education has 'continued to reproduce and widen, rather than close…… gap …… —— …… 的教育已经持续重复生产和拓宽，而不是关闭……间隔