位运算 常见方法总结 算法练习 C++

注：二进制中我们规定右边是最低位，从右向左记下标为0，1，2，3…

int n =  0 0 1 0 1 1 1 0 1...8 7 6 5 4 3 2 1 0  (下标，因为是int所以32位)

至于为什么要以下标为0开始？
下标从0开始的设计与右移操作相匹配：若要将下标为2的位移动到最低位，只需右移2位即可，操作数与下标完全对应，非常直观。

1. 基础位运算

左移运算符 <<

功能：将一个数的二进制位向左移动指定的位数，右侧空出的位用0填充。

int a = 5;       // 二进制: 00000101
int b = a << 2;  // 二进制: 00010100，结果为20

移动过程：

    00000101  (5)   // 原始值
<<  2               // 左移2位
----------------00010100  (20)  // 结果值

说明：左移n位相当于在不溢出的情况下乘以2ⁿ，运算效率远高于乘法。
⚠️ 常见误区：若左移导致有符号数的符号位发生变化（如int类型的0b10000000左移1位），会触发溢出，结果不再符合“乘2ⁿ”规则，实际开发中需注意数值范围。

右移运算符 >>

功能：将一个数的二进制位向右移动指定的位数。

• 无符号整数：左侧空出的位用0填充
• 有符号整数：通常采用算术右移，左侧空出的位用符号位填充

int a = 10;      // 二进制: 00001010
int b = a >> 2;  // 二进制: 00000010，结果为2

移动过程：

    00001010  (10)  // 原始值
>>  2               // 右移2位
----------------00000010  (2)   // 结果值

说明：右移n位相当于在不考虑符号的情况下除以2ⁿ（向下取整）。

按位与 &

运算规则：两个数的对应二进制位都为1时，结果位才为1（有0则0，全1才1）。

int a = 5;       // 二进制: 00000101
int b = 3;       // 二进制: 00000011
int c = a & b;   // 二进制: 00000001，结果为1

运算过程：

    00000101  (5)
&   00000011  (3)
----------------00000001  (1)

说明：只有两个对应位同时为1，结果才为1，可用于筛选特定位。

按位或 |

运算规则：两个数的对应二进制位中只要有一个为1，结果位就为1（有1则1，全0才0）。

int a = 5;       // 二进制: 00000101
int b = 3;       // 二进制: 00000011
int c = a | b;   // 二进制: 00000111，结果为7

运算过程：

    00000101  (5)
|   00000011  (3)
----------------00000111  (7)

说明：只要有一个对应位为1，结果就为1，可用于设置特定位。

按位异或 ^

运算规则：两个数的对应二进制位不同时，结果位为1；相同时，结果位为0。

int a = 5;       // 二进制: 00000101
int b = 3;       // 二进制: 00000011
int c = a ^ b;   // 二进制: 00000110，结果为6

运算过程：

    00000101  (5)
^   00000011  (3)
----------------00000110  (6)

说明：异或可理解为"无进位相加"，相同为0，不同为1，后续会介绍其重要运算律及实战应用。

2. 位运算的优先级

位运算符的优先级从高到低排列如下：

1. 按位非 ~（单目运算符，优先级最高）
2. 左移 <<、右移 >>
3. 按位与 &
4. 按位异或 ^
5. 按位或 |

与其他运算符的关系：

• 位运算符优先级低于算术运算符（+、-、*、/）和关系运算符（>、<、==）
• 位运算符优先级高于逻辑运算符（&&、||）

实用建议：
位运算符的优先级关系复杂，记忆困难。实际编程中，建议使用括号明确指定运算顺序，既避免错误又提高可读性：

int result = (a | b) & (c << 2);  // 清晰的运算顺序

3. 给你一个数n确定其的二进制表示中的第x位是0还是1

方法：(n >> x) & 1

步骤解析：

1. 右移定位：将n右移x位，使第x位移到最低位（第0位），此时其他位均被移走或填充（不影响最低位）；
2. 按位筛选：与1（二进制0b...0001）按位与，保留最低位（原第x位），清除其他所有位；
3. 结果判断：最终结果为0 → 原第x位是0；结果为1 → 原第x位是1。

示例：判断n=5（101）的第2位：

4. 将一个数n的二进制表示的第x位修改成1

方法：n = n | (1 << x)

步骤解析：

1. 将1左移x位，得到一个只有第x位为1、其余位为0的数（掩码）
2. 与n进行按位或运算，使n的第x位变为1，其他位保持不变

示例：将n=5（101）的第1位改为1：

5. 将一个数n的二进制表示的第x位修改成0

方法：n = n & (~(1 << x))

步骤解析：

1. 将1左移x位，得到只有第x位为1的数
2. 对其取反，得到只有第x位为0、其余位为1的数（掩码）
3. 与n进行按位与运算，使n的第x位变为0，其他位保持不变

示例：将n=5（101）的第2位改为0：

6. 位图的思想

我们上面说的几点都是为这一点也就是位图服务的👇
位图的本质就是一个哈希表（数组），不同的是哈希表是将数据存储到数组中方便我们来查找，而位图是用一个变量，其中每个二进制位来记录我们的信息，0/1表示不同信息，所以说用位图来记录我们就会经常用到上面的几个操作。

官方一点就是👇
位图（BitMap）是位运算的重要应用，其本质是用一个二进制位来表示一个数据的状态（0或1），从而极大节省存储空间。

核心思想：

• 传统哈希表用一个元素存储一个数据
• 位图用一个二进制位标记一个数据的存在状态
• 一个32位整数可以表示32个数据的状态

优势：

• 空间效率极高（存储相同数据量，仅需传统方法的1/32空间）
• 操作高效（基于位运算，速度快）

应用场景：

• 海量数据去重
• 数据查找与判重
• 标记状态集合

实现基础：
位图的实现依赖于前面介绍的位操作：

• 判断某数据是否存在 → 使用"判断第x位是0还是1"
• 添加数据 → 使用"将第x位修改为1"
• 删除数据 → 使用"将第x位修改为0"

7. 提取一个数n的二进制表示中的最右侧的1 (lowbit)

方法：n & (-n)

计算机中负数以补码存储，补码规则为：

1. 正数的补码 = 其原码（二进制本身）；
2. 负数的补码 = 对其绝对值的原码“取反（~）”后加1（即 -n = ~n + 1）。

lowbit的核心逻辑：对n取负后，最右侧的1保持不变，其左侧所有位取反，与原数按位与后，仅保留最右侧的1。

原理：在补码表示中，-n = ~n + 1，会使最右侧的1保持不变，其左侧所有位取反，我们理解了 -n 的含义这个方法就很好理解了。

当我们进行 -n 操作之后，最右侧的1右边部分没有动，左边的部分全部取反，那么我们与原来的数 & ，我们发现右边的部分因为取反全为0，左边的部分没动但都是0。

示例：提取424的二进制表示中的最右侧的1

8. 清除一个数n二进制表示中的最右侧的1

方法：n & (n - 1)

原理：当对 n 减 1 时，会触发“借位”逻辑——从最右侧的 1 开始，该位变为 0，其右侧所有的 0 均变为 1；此时与原数 n 按位与，最右侧的 1 会被“抵消”为 0，其他位保持不变，最终实现“清除最右侧 1”的效果

示例：清除n=106（110101000）最右侧的1：

9. 异或（^）操作的运算律

异或运算具有以下重要性质，在算法设计中非常实用：

(1) 恒等律：a ^ 0 = a
任何数与0异或，结果仍为该数

(2) 归零律：a ^ a = 0
任何数与自身异或，结果为0

(3) 结合律：a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c)
异或运算的顺序不影响最终结果

(4) 自反性：a ^ b ^ b = a
连续两次与同一个数异或，结果为原数

应用示例：不使用临时变量交换两个数

int x = 10, y = 20;
x = x ^ y;  // x现在是x^y
y = x ^ y;  // y = (x^y)^y = x
x = x ^ y;  // x = (x^y)^x = y

相关题目练习

以下题目需结合前文知识点实现，避免使用 C++ 内置函数（如 __builtin_popcount），强化对位运算逻辑的理解：

题目链接	核心知识点	解题思路提示
力扣 191. 位1的个数	清除最右侧1（n & (n-1)）	循环执行 n = n & (n-1)，每执行一次代表清除一个 1，计数加 1，直到 n 变为 0，最终计数即为 1 的个数。
力扣 338. 比特位计数	清除最右侧1 / 动态规划	方法1：对每个数循环清除最右侧 1 计数（基础思路）；方法2：动态规划，dp[i] = dp[i & (i-1)] + 1（利用“i 比 i&(i-1) 多一个 1”的规律，优化效率）。
力扣 461. 汉明距离	异或 + 位1计数	步骤1：对两个数异或（x ^ y），异或结果中“1 的位置”即为两数二进制不同的位置；步骤2：统计异或结果中 1 的个数，即为汉明距离。
力扣 136. 只出现一次的数字	异或运算律（归零律 + 恒等律）	所有数异或：出现两次的数会因 a^a=0 抵消，最终结果即为“只出现一次的数”（0 ^ 唯一数 = 唯一数）。
力扣 260. 只出现一次的数字 III	lowbit + 异或分组	步骤1：所有数异或，结果为“两个唯一数的异或值（x^y）”；步骤2：用 lowbit 提取 x^y 最右侧的 1，以此为依据将数组分为两组（该位为 1 的组、为 0 的组），x 和 y 会分属不同组；步骤3：两组分别异或，得到两个唯一数。

常见误区总结

1. 左移溢出风险：认为“左移 n 位一定等于乘 2ⁿ”，忽略有符号数的溢出问题（如 int 类型 0x80000000 左移 1 位，符号位从 1 变为 0，结果错误），实际使用需确保左移后数值在类型范围内。
2. 右移符号位混淆：对负数右移的“补 1”规则不清晰，导致计算结果偏差（如 -10 >> 2 = -3，而非 -2，需记住“右移向下取整”）。
3. 位图位位置计算：用 x % 32 计算位图中的位位置，效率低于 x & 31（位运算无需除法操作），且仅当“每个元素占 2^k 位”时可用（如 64 位元素用 x & 63）。
4. 异或交换的局限：无临时变量交换仅适用于“两个不同的变量”，若 x 和 y 指向同一内存地址（如 swap(x, x)），会导致 x 变为 0（x = x^x = 0），实际开发需注意变量地址是否相同。