格拉姆角场（Gramian Angular Field, GAF）详解

格拉姆角场（Gramian Angular Field, GAF）是一种于2015年被提出的时间序列可视化与特征编码技术。其核心思想是将一维时间序列转换为二维图像，并在此过程中保留原始序列的时间依赖关系与数值特征。目前，GAF已在故障诊断、生物电信号分析、射频信号识别等多个领域得到广泛应用。

GAF的实质是借助极坐标变换与格拉姆矩阵的结构，将一维序列中的“时间–数值”映射为图像中的像素关联信息。生成的图像矩阵的行列索引直接对应时间顺序，使其能够兼容主流图像识别模型（如CNN），从而挖掘出时间序列中的深层特征。

一、GAF 的核心设计逻辑

传统的一维时间序列包含两类基本信息：数值大小（如振幅）和时间顺序（如信号随时间的变化趋势）。折线图等常规方法虽能展示趋势，却难以显式表达不同时刻之间的数值关联。GAF 通过以下三步逻辑实现信息的结构化编码：

1. 数值归一化：将原始序列缩放至[-1, 1]区间，消除量纲与异常值影响，为极坐标变换提供基础；
2. 极坐标转换：将时间索引映射为半径，数值大小映射为角度，建立 时间-数值 在极坐标系统中的对应关系；
3. 格拉姆矩阵构建：基于极坐标角度，通过三角运算（如余弦和/差）构造 Gram 矩阵，将数值之间的时序关系转化为图像像素值。

二、GAF 的实现步骤（标准流程）

以任意 1 维时间序列 $X=[x_1,x_2,...,x_N]$（N 为序列长度）为例。

步骤 1：数据归一化（Normalization）

将原始序列归一化至区间 [-1, 1] ：

$${\tilde{x}}_i=\frac{2(x_i-min(X))}{max(X)-min(X)}-1$$

其中：

• $min(X)$、$max(X)$分别为原始序列的最小值和最大值；
• ${\tilde{x}}_i\in [-1,1]$，归一化后不仅消除了量纲影响，还确保后续角度计算时 $arccos({\tilde{x}}_i)$ 有实数解。

步骤 2：极坐标编码（Polar Coordinate Encoding）

将归一化后的序列 $\tilde{X}=[{\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2,...,{\tilde{x}}_N]$映射到极坐标系：

• 半径（表示时间索引）：

$$r_i=\frac{i}{N},i=1,2,\mathrm{3...},N$$
时间越晚，半径越大，靠近单位圆边缘。
每个角度 ${\theta }_i$ 都能通过半径 $r_i$ 对应到唯一的时间索引 $i$，后续角度运算（如 ${\theta }_i\pm {\theta }_j$）能明确解读为 “时间 $i$ 与时间 $j$ 的数值关联”。

• 角度（表示数值大小）：

$${\theta }_i=arccos({\tilde{x}}_i)$$

由于 ${\tilde{x}}_i\in [-1,1]$，角度 ${\theta }_i\in [0,\pi ]$。故数值越大，角度越小；数值越小，角度越大。

这种映射将 “数值大小” 转化为 “可加减运算的角度”，为后续关联量化提供数学工具 —— 若直接用原始数值计算差值，无法实现 “关联特征的梯度化”（如数值 1 与 - 1 的差异，用角度差 $\pi$ 表达更具关联意义）。

通过此步骤，1 维序列的每个数据点 $(\text{时间}i,\text{数值}{x}_i)$ 转化为极坐标下的点 $(r_i,{\theta }_i)$，完成 “数值→角度” 的量化与 “角度 → 时间” 的绑定，为后续矩阵构建提供 “有时序意义的角度集合”。

步骤 3：格拉姆矩阵构建（Gram Matrix Construction）

基于极坐标角度构建 Gram 矩阵，其元素表示不同时间点之间的数值关系 —— 矩阵行 / 列索引直接对应时间顺序，角度运算则量化 “该顺序下的数值关联”。GAF 主要有两种形式：

（1）格拉姆角和场（Gramian Angular Summation Field, GASF）

定义矩阵元素为角度和的余弦：

$$\text{GASF}[i,j]=cos({\theta }_i+{\theta }_j)$$

结合三角函数和角公式 $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$，可展开为：$$\text{GASF}[i,j]={\tilde{x}}_i\cdot {\tilde{x}}_j-\sqrt{1-{\tilde{x}}_i^2}\cdot \sqrt{1-{\tilde{x}}_j^2}$$

GASF 强调数值之间的协同性：若两时刻数值都较大或都较小，则像素较亮；反之则暗。

• 若两数值均为最大值（${\tilde{x}}_i={\tilde{x}}_j=1$，${\theta }_i={\theta }_j=0$），则 $cos(0+0)=1$（像素亮色），表示 “完全协同”；
• 若两数值均为最小值（${\tilde{x}}_i={\tilde{x}}_j=-1$，${\theta }_i={\theta }_j=\pi$），则 $cos(\pi +\pi )=1$（像素亮色），同样表示 “完全协同”；
• 若两数值均为中间值（${\tilde{x}}_i={\tilde{x}}_j=0$，${\theta }_i={\theta }_j=\pi /2$），则 $cos(\pi /2+\pi /2)=cos(\pi )=0$（像素中间色），表示 “中等协同”；
• 若一数值为最大、一为最小（$thet{a}_i=0$，$thet{a}_j=\pi$），则 $cos(0+\pi )=-1$（像素暗色），表示 “完全不协同”。 这种梯度化的像素值，能直观反映数值在时序中的协同趋势，而非单纯的数值大小乘积。

• 物理意义：捕捉两个时间点数值的 “协同特征”，即 “数值是否在同一趋势或同一水平上”：

（2）格拉姆角差场（Gramian Angular Difference Field, GADF）

定义矩阵元素为角度差的余弦：

$$\text{GADF}[i,j]=cos({\theta }_i-{\theta }_j)$$

结合三角函数差角公式 $cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$，可展开为： $$\text{GADF}[i,j]=\sqrt{1-{\tilde{x}}_i^2}\cdot {\tilde{x}}_j-{\tilde{x}}_i\cdot \sqrt{1-{\tilde{x}}_j^2}$$

• GADF 强调数值之间的差异性：相邻平滑变化区域显示亮色，突变区域显示暗色。

• 若两数值相近（${\theta }_i\approx {\theta }_j$，如时序中缓慢变化的相邻点），则 $cos({\theta }_i-{\theta }_j)\approx 1$（像素亮色），表示 “差异小，变化平滑”；
• 若两数值差异大（${\theta }_i$ 与 ${\theta }_j$ 相差大，如时序突变点），则 $cos({\theta }_i-{\theta }_j)\approx -1$（像素暗色），表示 “差异大，存在突变”；
• 相比直接计算数值差值（如 ${\tilde{x}}_i-{\tilde{x}}_j$），角度差的余弦值能将差异量化为 [-1, 1] 的固定范围，直接转化为像素灰度值，且能体现 “差异的时序意义”—— 例如差值同为 0.5，“1→0.5”（下降）与 “0→0.5”（上升）的角度差余弦值不同，对应不同的像素纹理，便于后续图像模型识别趋势差异。

• 物理意义：捕捉两个时间点数值的 “差异特征”，即 “数值变化是否平滑或突变”：

最终生成的 GASF 或 GADF 是一个 $N\times N$ 的矩阵，其行列索引对应原始时间顺序，像素值则表示时间点之间的数值关系。这也是 GAF 区别于传统时序特征提取的核心：既保留顺序，又量化关联。

三、GAF 的核心优势

1. 关联量化更精准：相比传统特征（如均值、方差）仅捕捉局部统计特征，或直接数值差值仅反映局部大小，GAF 通过角度运算捕捉 “带时序意义的跨时间点关联”，信息损失极小；
2. 天然适配图像模型：将 1 维序列转化为 2D 图像后，可直接使用成熟的图像识别模型（如 CNN、ResNet）提取深层特征 —— 无需设计复杂的 1D 特征提取器，且图像纹理能直观体现时序模式（如平滑趋势对应连续亮色，突变对应暗色断点）；
3. 抗噪声能力强：归一化步骤消除异常值干扰，极坐标编码和角度运算对小幅噪声不敏感（如噪声导致数值微小波动，角度变化可忽略），适合处理工业、通信等领域的带噪声信号（如前文中的无人机 RF 信号）；
4. 可视化与量化统一：GAF 图像的像素分布既能直观反映序列模式差异（如不同无人机 RF 信号的 GAF 图像纹理显著不同），又能通过像素值量化关联程度，兼顾人工观察与模型自动识别。

四、GAF 的典型应用场景

1. 时间序列分类：如无人机 RF 信号分类（将 1 维频域序列转化为 FDGAF 图像，通过 GAF 捕捉频域关联特征）、心电信号异常分类（将心电序列转化为 GAF 图像，用 CNN 识别心律失常的关联模式）；
2. 故障诊断：如电机振动信号的 GAF 图像 —— 正常状态下振动序列平滑，GAF 图像呈连续亮色；故障状态下振动突变，GAF 图像出现分散暗色点，通过图像特征差异识别故障；
3. 金融预测：将股票价格序列转化为 GAF 图像，CNN 可通过图像中 “协同 / 差异纹理”（如连续上涨对应 GASF 亮色区域）预测未来价格趋势；
4. 环境监测：将温度、湿度等传感器时序数据转化为 GAF 图像，异常环境变化（如温度骤升）会导致 GADF 图像出现暗色断点，实现快速异常识别。

五、GAF 的改进与扩展版本

尽管 GAF 性能强大，但仍存在信息丢失、计算效率低等问题。如下为几种常见改进策略：

1. 扩展至非时域序列

• FD-GAF：将频域序列（如FFT频谱）作为输入，构建频域角场，适用于射频信号分类；
• TF-GAF：对时频矩阵（如STFT）分段生成GAF，再融合特征，适用于非平稳信号。

2. 信息增强型GAF

• GAF-Diag：在对角线位置保留原始数值（$\cos {\theta }_i={\tilde{x}}_i$），避免幅度信息丢失；
• T-GAF：使用滑动窗口生成局部GAF子图，捕捉时间演化模式。

3. 多模态与轻量化改进

• M-GAF：多通道信号分别生成GAF，通过特征融合提升鲁棒性；
• Lite-GAF：采用降采样与稀疏计算，降低计算复杂度至 $O(N\log N)$，适用于边缘设备。

4. 与深度学习结合

• GAF-MAE：使用掩码自编码器对GAF图像进行预训练，适用于少样本场景；
• GAF-Transfer：在大规模时序数据上预训练模型，迁移到特定领域（如医疗、工业）。