数学_向量投影相关

Part 1

你的问题是：

设相机光心的朝向 w = (0, 0, 1)（即朝向正前方，Z 轴正方向），
在 相机坐标系下有一个平面，其法向量为 n_cam，
问：w 在该平面上的投影的单位向量 w_p，是不是等于 w × n_cam（即 w 叉乘 n_cam）？

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✅ 简短回答：

❌ 不是。w × n_cam 并不是 w 在平面上的投影向量。

w 在平面上的投影向量 w_p 的正确计算方式，应该是：

$$\boxed{{\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}-(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

然后，单位化（归一化） 后才是 单位投影向量：

$${\mathbf{w}}_p^{\text{unit}}=\frac{{\mathbf{w}}_p}{\Vert {\mathbf{w}}_p\Vert }$$

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✅ 详细解释

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✅ 一、问题拆解

你给出：

• 相机光心朝向：w = (0, 0, 1)，即 Z 轴正方向，代表“前”方向
• 相机坐标系下有一个 平面，其 法向量是 n_cam（假设是单位向量，若不是需要先归一化）
• 你想求的是：w 在该平面上的投影的单位向量 w_p

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✅ 二、什么是“向量在平面上的投影”？

在几何中：

一个向量 w 在一个平面上的投影，指的是：将该向量“垂直投射”到该平面上，去掉其垂直于平面的分量后，剩下的部分就是它在平面内的投影。

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✅ 三、如何求一个向量在平面上的投影？

✅ 步骤：

1. 已知：

   • 向量：$\mathbf{w}=(0,0,1)$
   • 平面法向量：${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$（假设是单位向量，如果不是，请先归一化：${\mathbf{n}}_{\text{cam}}=\frac{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}{\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}\Vert }$）

2. 向量 w 在法向量方向上的分量（垂直于平面的分量）为：
   $${\text{proj}}_{\mathbf{n}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}$$

3. 向量 w 在平面上的投影（平行于平面的分量）为：
   $${\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}-(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}$$

4. （可选）单位化得到单位投影向量：
   $${\mathbf{w}}_p^{\text{unit}}=\frac{{\mathbf{w}}_p}{\Vert {\mathbf{w}}_p\Vert }$$

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✅ 四、你提到的叉乘：w × n_cam 是什么？

叉乘（向量积）$\mathbf{w}\times {\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 得到的是一个新向量，这个向量：

• 垂直于 w 和 n_cam 所在的平面
• 大小等于 |w|·|n_cam|·sinθ
• 方向由右手定则决定

✅ 但它并不是 w 在平面上的投影！

🔴 所以：
$$\mathbf{w}\times {\mathbf{n}}_{\text{cam}}eq{\mathbf{w}}_p$$

w × n_cam 与 w 在平面上的投影，是完全不同的概念！

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✅ 五、直观理解（结合你的例子）

你设：

• w = (0, 0, 1)，即相机看向正前方（Z 轴）
• n_cam 是某平面的法向量（比如 (0, 1, 0)、(1, 0, 0)、或任意方向）

例子 1：平面是 XY 平面（法向量 n_cam = (0, 0, 1)）

• 那么 w = (0, 0, 1) 就是平面的法向量本身！
• w 在该平面上的投影为 0 向量！
• 因为 w 与法向量平行，完全垂直于平面！

计算：
$$\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}=(0,0,1)\cdot (0,0,1)=1$$
$${\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}-1\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}=(0,0,1)-(0,0,1)=(0,0,0)$$

✅ 没有平面内的分量，投影为零向量。

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例子 2：平面法向量 n_cam = (0, 1, 0)（即平面是 XZ 平面）

• w = (0, 0, 1) 与 n_cam = (0, 1, 0) 垂直
• 所以 w 完全落在平面内！
• w 在该平面上的投影就是 w 本身！

计算：
$$\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}=(0,0,1)\cdot (0,1,0)=0$$
$${\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}-0\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}=\mathbf{w}=(0,0,1)$$

✅ 此时投影就是 w 自己，单位向量也是 (0,0,1)

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✅ 六、总结回答

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❓ 问题：

设 w = (0, 0, 1)，n_cam 是相机坐标系下某平面的法向量，那么 w 在该平面上的投影单位向量 w_p，是否等于 w × n_cam？

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✅ 答案：

❌ 不等于。

w × n_cam 是 w 与 n_cam 的叉乘结果，是一个垂直于 w 和 n_cam 的新向量，不是 w 在平面上的投影。

正确求 w 在平面上的投影向量 w_p 的公式是：

$$\boxed{{\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}-(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

然后再对该向量归一化（单位化），就得到 w 在该平面上的单位投影向量。

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✅ 补充公式总结

目标	公式
向量 w 在平面法向量 n_cam 上的投影（垂直分量）	$(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}$
向量 w 在平面上的投影（平行分量）	${\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}-(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}$
单位投影向量（w 在平面上的方向）	${\mathbf{w}}_p^{\text{unit}}=\frac{{\mathbf{w}}_p}{|{\mathbf{w}}_p|}$
w × n_cam 是什么？	叉乘结果，垂直于 w 和 n_cam，不是投影！

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🔧 总结一句话：

w 在平面上的投影向量，应该通过减去其在法向量方向的分量来求得，而不是通过叉乘。叉乘得到的是另一个垂直向量，与投影无关。

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Part2

我们来清晰、严谨地 推导：向量 $\mathbf{w}$ 在法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 方向上的分量（即垂直于平面的分量）的表达式：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

这个分量也叫：向量 $\mathbf{w}$ 在法向量方向上的投影向量（垂直于平面的部分）。

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✅ 一、问题描述（先明确符号与目标）

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已知：

• 向量 $\mathbf{w}$：某个方向向量（比如相机朝向、光线方向等），例如 $\mathbf{w}=(w_x,w_y,w_z)$
• 法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$：某个平面的 单位法向量（或非单位，但通常我们会先归一化），即垂直于该平面的方向，例如 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}=(n_x,n_y,n_z)$

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目标：

推导：向量 $\mathbf{w}$ 在法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 方向上的投影向量（也就是 $\mathbf{w}$ 垂直于平面的那个分量）的公式，即：

$${\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=?$$

并证明它等于：

$$\boxed{(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

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✅ 二、回顾：向量投影的基本概念

在向量空间中，一个向量 $\mathbf{w}$ 在另一个向量 $\mathbf{n}$ 方向上的投影向量（也称为 标量投影的向量形式）定义为：

$$\boxed{{\text{proj}}_{\mathbf{n}}\mathbf{w}=\left(\frac{\mathbf{w}\cdot \mathbf{n}}{\Vert \mathbf{n}{\Vert }^2}\right)\cdot \mathbf{n}}\text{或者，如果 n 是单位向量（∥n∥=1），则简化为：}\boxed{{\text{proj}}_{\mathbf{n}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot \mathbf{n})\cdot \mathbf{n}}$$

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✅ 三、推导开始（分两种情况：法向量是否为单位向量）

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✅ 情况 1：如果法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 是单位向量（即 $\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}\Vert =1$）

这是最常见情况，尤其是在几何和图形学中，法向量通常会提前归一化。

那么：

• 向量 $\mathbf{w}$ 在 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 方向上的 投影向量 是：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

✅ 这就是你给出的公式！

🔍 解释：

• $\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 是 标量投影（投影长度）
• 乘以 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$（单位方向向量）就得到了 向量形式的投影

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✅ 情况 2：如果法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 不是单位向量

那么，正确的投影向量公式是：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=\left(\frac{\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}{\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}{\Vert }^2}\right)\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

因为我们要将投影 归一化到 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 的方向，并按其长度缩放。

但通常我们会先对法向量做归一化：

$${\mathbf{n}}_{\text{cam}}^{\text{unit}}=\frac{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}{\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}\Vert }$$

然后使用简化公式：

$${\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}^{\text{unit}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}^{\text{unit}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}^{\text{unit}}$$

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✅ 四、为什么这个投影向量表示的是“垂直于平面的分量”？

因为：

• 法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 定义了平面的 垂直方向
• 所以 $\mathbf{w}$ 在 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 方向上的投影，就是 $\mathbf{w}$ 中垂直于平面的那一部分
• 换句话说：
  $$\text{垂直于平面的分量}={\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}$$

而 向量 $\mathbf{w}$ 在平面内的分量（平行于平面的部分） 则是：

$$\boxed{{\mathbf{w}}_{\parallel }=\mathbf{w}-{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=\mathbf{w}-(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

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✅ 五、总结推导（核心结论）

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✅ 若 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 是单位法向量（推荐）：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

🔹 这就是你问的公式！它表示：向量 $\mathbf{w}$ 在法向量方向上的投影（即垂直于平面的分量）

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✅ 若 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 不是单位向量：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=\left(\frac{\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}{\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}{\Vert }^2}\right)\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

但通常我们会先归一化法向量，然后使用上面更简单的形式。

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✅ 六、一句话总结

向量 $\mathbf{w}$ 在法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 方向上的投影（即垂直于平面的分量）为：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

✅ 前提是：${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 是单位向量（或已归一化）

🔄 如果 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 不是单位向量，则分母要除以 $\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}{\Vert }^2$

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✅ 七、附加：几何意义

符号	含义
$\mathbf{w}$	任意向量（比如视线方向、光线、位移等）
${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$	平面的法向量（垂直于平面）
${\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}$	向量 $\mathbf{w}$ 在法线方向上的分量 → 即 垂直于平面的分量
$\mathbf{w}-{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}$	向量 $\mathbf{w}$ 在平面内的分量 → 即 平行于平面的分量

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🔧 总结一句话：

向量在法向量方向上的投影（垂直于平面的分量）是由点积控制的：$(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}})\cdot {\mathbf{n}}_{\text{cam}}$，这是线性代数中向量投影的标准公式，几何意义明确，应用广泛。

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