线性回归与 Softmax 回归技术报告

一、引言

在深度学习领域，线性回归与 Softmax 回归是两种基础且重要的模型，分别在回归任务和分类任务中发挥着关键作用。本报告将详细阐述线性回归和 Softmax 回归的核心原理、相关优化算法、损失函数等内容，结合实际应用场景，深入剖析两种模型的特点与应用价值，为后续更复杂深度学习模型的学习与应用奠定基础。

二、线性回归

2.1 线性回归的基本概念

线性回归是一种用于预测连续值输出的监督学习算法，其核心思想是通过建立输入特征与输出值之间的线性关系来进行预测。在实际生活中，线性回归有着广泛的应用，例如房价预测。当我们看中一套房子并想要估计其价格时，就可以利用线性回归模型。我们可以收集往年类似房子的相关数据，如房子的面积、卧室数量、地理位置等（这些都是输入特征）以及对应的成交价格（输出值），通过线性回归模型找到输入特征与房价之间的线性关系，进而对新看中房子的价格进行合理估计，为出价提供参考依据。

从数学角度来看，线性回归的模型表达式可以表示为：

• 对于单个样本，其线性关系为 \(y = w^T x + b\)，其中 x 是输入特征向量，w 是权重向量，b 是偏置项，y 是预测输出值。
• 当处理多个样本时，模型表达式可扩展为矩阵形式 \(y = X w + b\)，其中 X 是由多个样本的输入特征组成的矩阵，每一行代表一个样本的特征向量；w 仍为权重向量；b 为偏置项；y 是由多个样本的预测输出值组成的向量。

2.2 线性回归与神经网络的关联

线性回归可以看作是一种最简单的神经网络结构。从神经网络的角度来看，线性回归模型包含一个输入层和一个输出层，没有隐藏层。输入层接收输入特征，每个输入特征通过对应的权重与输出层相连，输出层的神经元计算输入特征与对应权重的线性组合，并加上偏置项，得到最终的预测输出。例如，若输入层有 d 个神经元（对应 d 个输入特征），输出层有 1 个神经元（对应 1 个连续输出值），那么权重向量 w 就包含 d 个权重参数，分别连接输入层的每个神经元与输出层的神经元。这种简单的神经网络结构与线性回归模型在数学表达和功能实现上是完全一致的，这也体现了线性回归在神经网络体系中的基础性地位。

2.3 线性回归的训练过程

2.3.1 损失函数

在训练线性回归模型时，需要定义一个损失函数来衡量模型预测值与真实值之间的差异。常用的损失函数包括平方损失（L2 损失）和绝对损失（L1 损失）。

• 平方损失（L2 损失）：对于单个样本，其计算公式为 \(L(y, \hat{y}) = \frac{1}{2}(y - \hat{y})^2\)，其中 y 是真实值，\(\hat{y}\) 是预测值。平方损失对较大的误差有更强的惩罚作用，因为误差被平方后会放大。
• 绝对损失（L1 损失）：单个样本的计算公式为 \(L(y, \hat{y}) = |y - \hat{y}|\)。与平方损失相比，L1 损失对异常值的鲁棒性更强，因为它不会像平方损失那样过度放大异常值的误差。

除了上述两种常见的损失函数外，还有 Huber 损失。Huber 损失结合了 L1 损失和 L2 损失的优点，当误差较小时，采用平方损失的形式，使损失函数具有较好的光滑性，便于优化；当误差较大时，采用绝对损失的形式，减少异常值对模型训练的影响。其数学表达式为： \(L(y, \hat{y}) = \begin{cases} \frac{1}{2}(y - \hat{y})^2, & |y - \hat{y}| \leq \delta \\ \delta |y - \hat{y}| - \frac{1}{2}\delta^2, & |y - \hat{y}| > \delta \end{cases}\) 其中 \(\delta\) 是一个超参数，用于控制 L1 损失和 L2 损失的切换阈值。

2.3.2 优化算法

训练线性回归模型的核心是通过优化算法找到使损失函数最小化的权重参数 w 和偏置项 b。常用的优化算法基于梯度下降的思想，主要包括梯度法、随机梯度下降（SGD）和小批量随机梯度下降（Mini - Batch SGD）。

• 梯度法：梯度是由函数所有变量的偏导数汇总而成的向量。在梯度法中，首先计算损失函数在当前参数值处的梯度，由于梯度指示的方向是函数值增加最多的方向，所以沿着梯度的反方向更新参数，能够使损失函数的值最大限度地减小。其参数更新公式为：\(w = w - \eta \nabla_w L\)，\(b = b - \eta \nabla_b L\)，其中 \(\eta\) 是学习率，\(\nabla_w L\) 和 \(\nabla_b L\) 分别是损失函数对权重 w 和偏置 b 的梯度。梯度法每次更新参数都需要使用全部的训练数据计算梯度，虽然计算得到的梯度方向较为准确，但当训练数据量较大时，计算成本较高，训练效率较低。

• 随机梯度下降（SGD）：为了提高训练效率，随机梯度下降每次从训练数据集中随机选取一个样本，仅使用该样本计算梯度并更新参数。这种方式大大减少了每次迭代的计算量，加快了训练速度。然而，由于每次只使用单个样本计算梯度，得到的梯度方向具有较大的随机性，可能会导致损失函数的值在训练过程中波动较大，收敛速度较慢，甚至可能在最优解附近震荡而无法稳定收敛到最小值。

• 小批量随机梯度下降（Mini - Batch SGD）：小批量随机梯度下降是介于梯度法和随机梯度下降之间的一种优化算法。它每次从训练数据集中随机选取一小批量样本（批量大小通常根据实际情况设定，如 32、64、128 等），使用这一小批量样本计算梯度的平均值，并根据该平均梯度更新参数。这种方法既能够利用批量计算的优势，充分利用计算机的并行计算资源，提高计算效率，又能够通过引入一定的随机性，避免陷入局部最优解，同时使损失函数的值在训练过程中相对稳定，收敛速度也较为合理。

2.3.3 学习率的选择

学习率是梯度下降类优化算法中的一个重要超参数，它决定了每次参数更新的步长。学习率的选择对模型的训练效果和收敛速度有着至关重要的影响。

• 学习率不要太大：如果学习率过大，每次参数更新的步长就会过大，可能会导致损失函数的值在训练过程中出现剧烈波动，甚至可能越过损失函数的最小值，使得模型无法收敛到最优解，反而导致损失函数的值不断增大。
• 学习率不要太小：如果学习率过小，每次参数更新的步长就会过小，虽然损失函数的值能够稳定下降，但收敛速度会非常慢，需要经过大量的迭代才能使模型收敛到最优解，这会增加训练时间和计算成本。

在实际应用中，通常需要通过实验来选择合适的学习率。可以先尝试设置一系列不同的学习率（如 0.1、0.01、0.001、0.0001 等），然后分别使用这些学习率训练模型，观察损失函数的值随迭代次数的变化情况，选择能够使损失函数的值快速稳定下降并收敛到较小值的学习率。此外，还可以采用学习率调度策略，在训练过程中根据一定的规则动态调整学习率，如随着迭代次数的增加逐渐减小学习率，以在训练初期加快收敛速度，在训练后期使模型能够更精细地收敛到最优解。

2.3.4 批量大小的选择

在小批量随机梯度下降中，批量大小也是一个重要的超参数。

• 批量值不能太小：如果批量值太小，每次迭代使用的样本数量过少，计算得到的梯度平均值的随机性较大，可能会导致损失函数的值在训练过程中波动较大，收敛速度较慢，同时也无法充分利用计算机的并行计算资源，降低计算效率。
• 批量值不能太大：如果批量值太大，虽然每次计算得到的梯度平均值较为准确，损失函数的值波动较小，但会增加每次迭代的计算量和内存占用。当批量值过大时，可能会导致计算机内存不足，无法正常进行训练，同时也会浪费计算资源，因为大量相似样本的计算可能会产生冗余信息，对梯度更新的贡献较小，却增加了计算成本。

在实际选择批量大小时，需要综合考虑训练数据量、计算机的硬件资源（如内存大小、GPU 显存大小）以及模型的复杂度等因素。一般来说，批量大小可以选择为 2 的幂次，如 32、64、128、256 等，这样更有利于计算机进行并行计算优化。同时，也可以通过实验来选择合适的批量大小，例如在不同的批量大小下训练模型，比较模型的训练时间、收敛速度和最终的性能指标（如在测试集上的误差），选择最优的批量大小。

三、Softmax 回归

3.1 回归与分类的区别

在机器学习任务中，回归任务和分类任务是两种主要的任务类型，它们有着明显的区别。

• 回归任务：回归任务的目标是预测一个连续值输出。例如，预测房价、预测股票价格、预测温度等。在回归任务中，模型的输出值可以是任意实数，其取值范围是连续的。评估回归模型性能的指标通常包括均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）、决定系数（R²）等，这些指标用于衡量模型预测值与真实值之间的差异程度。
• 分类任务：分类任务的目标是预测一个离散的类别标签。例如，对自然对象进行分类（如 ImageNet 数据集包含 1000 个类别）、对手写数字进行分类（如 MNIST 数据集包含 10 个类别，分别对应数字 0 - 9）、将人类蛋白质显微镜图像分为 28 类、将维基百科上的恶语评论分为 7 类（如 toxic、severe_toxic、obscene、threat、insult、identity_hate 等）等。在分类任务中，模型的输出通常是各个类别的置信度或概率，最终根据置信度或概率确定样本所属的类别。评估分类模型性能的指标包括准确率（Accuracy）、精确率（Precision）、召回率（Recall）、F1 分数（F1 - Score）、混淆矩阵（Confusion Matrix）等。

3.2 Softmax 回归的基本原理

Softmax 回归是一种用于多类分类任务的监督学习算法，它可以看作是逻辑回归在多类分类问题上的扩展。

3.2.1 模型结构

Softmax 回归模型的结构与线性回归模型类似，也可以看作是一种简单的神经网络。它包含一个输入层和一个输出层，没有隐藏层。输入层接收输入特征，输出层的神经元数量等于分类任务中的类别数量。例如，在 MNIST 手写数字分类任务中，输出层有 10 个神经元，分别对应数字 0 - 9 这 10 个类别。

由于输出层的每个神经元的输出都取决于所有输入特征，因此 Softmax 回归的输出层也是全连接层。输入层的每个神经元通过对应的权重与输出层的每个神经元相连，输出层的每个神经元计算输入特征与对应权重的线性组合，并加上偏置项，得到未经过激活函数处理的原始输出（通常称为 logits）。

3.2.2 Softmax 运算

为了将输出层的原始输出转换为各个类别的概率分布（即每个类别的预测置信度，满足非负性和总和为 1 的性质），需要对原始输出进行 Softmax 运算。

Softmax 运算的数学表达式为：对于输出层的原始输出 \(o_1, o_2, \dots, o_K\)（其中 K 是类别数量），经过 Softmax 运算后得到的每个类别的概率 \(y_1, y_2, \dots, y_K\) 为： \(y_i = \frac{\exp(o_i)}{\sum_{k = 1}^{K} \exp(o_k)}\) 其中 \(\exp(\cdot)\) 是指数函数。通过指数函数可以确保每个类别的概率值非负；分母是所有类别原始输出的指数值之和，用于对概率进行归一化，使得所有类别的概率之和为 1，满足概率分布的基本性质。

3.3 Softmax 回归的训练过程

3.3.1 损失函数

在 Softmax 回归模型的训练中，由于模型的输出是概率分布，因此通常使用交叉熵损失函数来衡量模型预测的概率分布与真实的概率分布之间的差异。

对于单个样本，设真实的类别标签用一个独热编码（One - Hot Encoding）向量 p 表示，其中 \(p_i = 1\) 表示该样本属于第 i 类，其余位置的元素均为 0；模型预测的概率分布向量为 q，则交叉熵损失函数的计算公式为： \(H(p, q) = -\sum_{i = 1}^{K} p_i \log(q_i)\) 由于真实标签向量 p 是独热编码，只有对应样本真实类别的位置为 1，其余位置为 0，因此交叉熵损失可以简化为 \(H(p, q) = -\log(q_i)\)，其中 i 是样本的真实类别索引。这意味着，交叉熵损失函数会惩罚模型对真实类别预测概率较低的情况，预测概率越低，损失值越大；反之，预测概率越高，损失值越小。

与平方损失函数相比，交叉熵损失函数更适合用于 Softmax 回归模型的训练。平方损失函数在模型输出为概率分布时，可能会导致模型训练速度较慢，且对模型预测概率的惩罚不够合理；而交叉熵损失函数能够更直接地反映模型预测概率分布与真实概率分布之间的差异，有助于模型快速收敛到最优解。

3.3.2 优化算法

Softmax 回归模型的优化算法与线性回归模型类似，也主要采用基于梯度下降的优化算法，如随机梯度下降（SGD）、小批量随机梯度下降（Mini - Batch SGD）等。其优化过程的核心思想是通过计算交叉熵损失函数对模型参数（权重和偏置）的梯度，然后沿着梯度的反方向更新参数，不断减小损失函数的值，直到模型收敛到最优参数。

在计算梯度时，需要根据 Softmax 运算和交叉熵损失函数的链式法则，推导出损失函数对每个参数的偏导数。由于 Softmax 回归模型的输出层是全连接层，参数数量较多，但通过矩阵运算和自动微分技术（如在 TensorFlow、PyTorch 等深度学习框架中），可以高效地计算出梯度并进行参数更新。

在训练过程中，同样需要合理选择学习率和批量大小等超参数。学习率的选择原则与线性回归模型相同，过大或过小都会影响模型的训练效果和收敛速度；批量大小的选择也需要综合考虑训练数据量、硬件资源和模型复杂度等因素，以在训练效率和梯度准确性之间取得平衡。

四、总结与展望

4.1 总结

本报告详细介绍了线性回归和 Softmax 回归两种基础的深度学习模型。

• 线性回归主要用于解决回归任务，通过建立输入特征与连续输出值之间的线性关系，利用梯度下降类优化算法最小化损失函数（如平方损失、L1 损失、Huber 损失）来确定模型参数。它可以看作是最简单的神经网络，为更复杂神经网络的学习奠定了基础。
• Softmax 回归则用于解决多类分类任务，通过在输出层进行 Softmax 运算，将原始输出转换为概率分布，使用交叉熵损失函数衡量预测概率分布与真实概率分布之间的差异，并通过梯度下降类优化算法进行模型训练。它也是一种简单的全连接神经网络，在图像分类、文本分类等多个领域有着广泛的应用。

此外，两种模型在训练过程中都涉及到学习率和批量大小等超参数的选择，这些超参数对模型的训练效果和收敛速度有着重要影响，需要通过实验和经验进行合理设置。小批量随机梯度下降作为一种高效的优化算法，在两种模型的训练中都得到了广泛的应用，成为深度学习中默认的求解算法之一。

4.2 展望

线性回归和 Softmax 回归作为深度学习的基础模型，虽然结构简单，但它们的思想和方法为更复杂的深度学习模型提供了重要的支撑。

• 在实际应用中，可以将线性回归和 Softmax 回归作为构建更复杂神经网络的基本模块。例如，在深度神经网络中，每一层的线性变换部分都可以看作是线性回归或 Softmax 回归的扩展，通过增加隐藏层的数量和神经元的数量，提高模型的表达能力，以解决更复杂的问题。
• 随着深度学习技术的不断发展，针对线性回归和 Softmax 回归的优化方法也在不断改进。例如，在优化算法方面，除了传统的梯度下降类算法外，还出现了 Adam、RMSprop、Adagrad 等自适应学习率优化算法，这些算法能够根据参数的梯度信息自动调整学习率，进一步提高模型的训练效率和收敛性能。
• 在处理大规模数据和复杂任务时，可以结合正则化技术（如 L1 正则化、L2 正则化、Dropout 等）来防止模型过拟合，提高模型的泛化能力。同时，还可以利用数据增强技术扩大训练数据集的规模，改善模型的训练效果。

未来，随着人工智能技术的不断进步，线性回归和 Softmax 回归的思想和方法将在更多领域得到应用和拓展，为解决实际问题提供更有力的支持。同时，基于这些基础模型的更复杂、更高效的深度学习模型也将不断涌现，推动人工智能技术向更高水平发展。