【课堂笔记】复变函数-2

复值函数

可微性

设$U\subset \mathbb{C}$是开集，一个复值函数(complex valued function)是映射$f:U\to \mathbb{C}$。由于$\mathbb{C}\simeq {\mathbb{R}}^2$，我们可以将复值函数看为$f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$
$$z=x+iy,f((x,y))=u(x,y)+iv(x,y)$$

称$f$是可微的(differentiable)，当$u,v$是可微的。特别的，存在偏导$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y),\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$

对任意$z=x+iy\in U$，定义
$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i\frac{\partial v}{\partial x}(z) \\ \frac{\partial f}{\partial y}(z)=\frac{\partial u}{\partial y}(z)+i\frac{\partial v}{\partial y}(z) \end{gathered}$$

微分算子

设$U\in \mathbb{C}$是开集，我们形式地定义微分算子为形如$gdx+hdy$，这里$g,h:U\to \mathbb{C}$是复值函数。

设$f:U\to \mathbb{C}$是可微的，定义：
$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$
容易得到以下性质：
$$\begin{gathered} d(f+g)=df+dg \\ d(fg)=gdf+fdg(\text{Leibniz rule}) \end{gathered}$$

$z:\mathbb{C}\to \mathbb{C},\overline{z}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$，
$\Rightarrow dz=dx+idy,d\overline{z}=dx-idy$
$\Rightarrow dx=\frac{1}{2}(dz+d\overline{z}),dy=\frac{1}{2i}(dz-d\overline{z})$
$\Rightarrow df=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})dz+\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})d\overline{z}$
令$\frac{\partial f}{\partial z}:=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})$，$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})$，则$df=\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}d\overline{z}$。
记$\partial f=\frac{\partial f}{\partial z}dz,\overline{\partial }f=\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}d\overline{z}$，$\Rightarrow df=\partial f+\overline{\partial }f$

【注意，这些都是直接定义的符号】

全纯函数(Holomorphic function)

设$U\subset \mathbb{C}$，$f:U\to \mathbb{C}$，$z\in \mathbb{C}$。
称$f$是复可微的，当$\underset{u\to z}{\lim }\frac{f(w)-f(z)}{w-z}=f^{\prime }(z)$存在。

从${\mathbb{R}}^2$视角看，若$f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$是$\mathbb{R}$线性的，则$f$是复可微的，当且仅当$\exists a\in \mathbb{C},f(z)=az$

设$U\subset \mathbb{C}$，$f:U\to \mathbb{C}$被称为全纯的(holomorphic)，如果$f$对任意$z\in U$都是复可微的。

引理

设$U\subset \mathbb{C}$是开集，$z\in U,f:U\to \mathbb{C}$，则$f$在点$z$处是复可微的，当且仅当$f$是实可微的，且满足下列Cauchy-Riemann等式（简称C-R等式）：
$$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z)=0$$

注意，实可微可定义为$f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$，$\exists A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$，$f=Az+o(|z|)$

证明："$\Leftarrow$"假设$f$是实可微且满足C-R等式，则可以写出
$$f(w)-f(z)=A(w-z)+o(|w-z|)$$
这里$A$是实$2\times 2$的矩阵。
在坐标$z=x+iy,f=u+iv$表示下
$$A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}(z)& \frac{\partial u}{\partial y}(z)\\ \frac{\partial v}{\partial x}(z)& \frac{\partial v}{\partial y}(z)\end{array}\right)$$
C-R等式说明
$$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z)=0\iff \{\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}(z)=\frac{\partial v}{\partial y}(z)=:b\\ \frac{\partial u}{\partial y}(z)=-\frac{\partial v}{\partial x}(z)=:c\end{array}$$
我们记$a=b+ci\in \mathbb{C}$，则$A(z)=az$（易验证）
“$\Rightarrow$”这个方向易证

保角矩阵

设$A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$是个矩阵，我们可以将它看作${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$的映射。
向量$v=(x_1,y_1),w=(x_2,v_2)$，内积定义为$⟨v,w⟩=x_1{x}_2+y_1{y}_2$
对于$\mathbb{C}\simeq {\mathbb{R}}^2$，$z,w\in \mathbb{C}$，$⟨z,w⟩=\text{Re}(z\overline{w})$

设$J:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,z\mapsto \overline{z}$是复共轭矩阵，对任意$z,w\in \mathbb{C}$，有$⟨Jz,Jw⟩=⟨z,w⟩$

矩阵$A$被称为旋转矩阵(rotation matrix)，如果$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$。矩阵$A$是旋转矩阵，当且仅当它保内积，且$\text{det}A>0$

矩阵$A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$被称为保角的(conformal)，如果$A$不改变两个向量$z,w\in \mathbb{C}$的夹角，即：
$$\frac{⟨Az,Aw⟩}{|Az|\cdot |Aw|}=\frac{⟨z,w⟩}{|z|\cdot |w|}$$
保角矩阵一定是可逆的(invertible)。

$\mathbb{C}$中的圆(circle)定义为{z∈C,∣z−z0∣=r},r>0,z0∈C\set{z \in \mathbb{C}, |z-z_0| = r}, r>0, z_0 \in \mathbb{C}{z∈C,∣z−z0​∣=r},r>0,z0​∈C

定理

设$A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$，满足$\text{det}A>0$，这样的矩阵被称为保向的(orientation preserving)，则下列条件等价：

• $A$是保角的
• $A$由映射$z\mapsto az,a\in \mathbb{C}$给出
• $A$将一个圆映射到另一个圆

证明：因为$\text{det}A>0$，由极分解(polar decomposition)，$A=R_{\theta }P$，${\mathbb{R}}_{\theta }$是旋转矩阵，$P$是半正定的。问题可以简化到研究$P$上。
$P$可以进一步正交对角化$P=R_{\beta }D{R}_{\beta }^{-1},D=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right),{\lambda }_1,{\lambda }_2>0$
易知条件(2)等价于${\lambda }_1={\lambda }_2$，且$(2)\Rightarrow (1),(2)\Rightarrow (3)$是显然的。所以我们只需证明$(1),(3)\Rightarrow {\lambda }_1={\lambda }_2$
对于情形(1)，即$D$是保角的，取特殊向量$z=1,w=1+i$，则$$\begin{gathered} \frac{⟨Dz,Dw⟩}{|Dz|\cdot |Dw|}=\frac{⟨z,w⟩}{|z|\cdot |w|} \\ \frac{⟨{\lambda }_1,{\lambda }_1+{\lambda }_{2}i⟩}{{\lambda }_1\sqrt{{\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2}}=\frac{⟨1,1+i⟩}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$
于是${\lambda }_1={\lambda }_2$

对于情形(3)，假设$D$将一个圆映射到另一个圆，同样取特殊情况，考虑圆周$\partial D(0,\sqrt{2})$，它的像也是个圆周，且$D(0)=0$（即像的圆心是原点）
考虑两个复数$\sqrt{2},1+i\in \partial D(0,\sqrt{2})$，则$D(\sqrt{2})={\lambda }_1\sqrt{2},D(1+i)={\lambda }_1+{\lambda }_{2}i$，且有$|D(\sqrt{2})|=|D(1+i)|$，于是解得${\lambda }_1={\lambda }_2$