【高等数学】第十二章 无穷级数——第二节 常数项级数的审敛法
上一节：【高等数学】第十二章 无穷级数——第一节 常数项级数的概念和性质
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- 1. 正项级数及其审敛法
1. 正项级数及其审敛法
- 正项级数
各项都是正数或零的级数称为正项级数 - 正项级数收敛
正项级数 ∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_nn=1∑∞un 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 {sn}\{s_n\}{sn} 有界。单调有界数列必有极限，数列有极限必定有界
- 比较审敛法
设∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}n=1∑∞un和∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}n=1∑∞vn都是正项级数，且un⩽vnu_{n}\leqslant v_{n}un⩽vn（n=1n=1n=1，222，⋯\cdots⋯）。
若级数∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}n=1∑∞vn收敛，则级数∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}n=1∑∞un收敛；
反之，若级数∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}n=1∑∞un发散，则级数∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}n=1∑∞vn发散。 - 推论
设 ∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_nn=1∑∞un 和 ∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} v_nn=1∑∞vn 都是正项级数，如果级数 ∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} v_nn=1∑∞vn 收敛，且存在正整数 NNN，使当 n⩾Nn \geqslant Nn⩾N 时有 un⩽kvnu_n \leqslant kv_nun⩽kvn（k>0k > 0k>0）成立，
那么级数 ∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_nn=1∑∞un 收敛；
如果级数 ∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} v_nn=1∑∞vn 发散，且当 n⩾Nn \geqslant Nn⩾N 时有 un⩾kvnu_n \geqslant kv_nun⩾kvn（k>0k > 0k>0）成立，
那么级数 ∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_nn=1∑∞un 发散。改变有限项、数乘不改变收敛性
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