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Part03 数据结构

news 2025/9/17 6:14:40

CSP-J 初赛常考知识点总结 - 数据结构篇

1. 图论基础

基本概念与术语

边 (Edge)：节点之间的连接线
完全图：任意两个顶点之间都有边相连的图
- $m$ 个节点的完全图边数为： $Cm2=m(m−1)2C_m^2 = \frac{m(m-1)}{2}$
简单路径：顶点序列中顶点不重复出现的路径
连通图：图中任意两个顶点都是连通的（存在路径相连）
- 注意：完全图一定是连通图，但连通图不一定是完全图

图的分类

有向图：边具有方向性（ $\rightarrow v$ ）
无向图：边没有方向性（ $e = u - v$ ）

环与度

环：起点和终点相同的路径，且路径中除起点外无重复顶点
- 自环：起点和终点相同的边（ $e = (u, u)$ ）
入度：以顶点 $v$ 为终点的边的数量
出度：以顶点 $v$ 为起点的边的数量

2. 树结构

基本概念

树：连通且无环的无向图，具有以下性质：
- 任意两点间有且仅有一条简单路径
- 边数 = 顶点数 - 1（ $E = V - 1$ ）
- 形似倒置的树（根在上，叶在下）

树的术语

根结点：树的最顶层节点，每棵树有且仅有一个
深度：节点到根结点的路径上的边数
高度：所有节点深度的最大值
叶结点：没有子结点的结点
父结点：除根结点外，每个结点到根路径上的第二个结点
祖先：结点到根路径上除自身外的所有结点
子结点：如果 $u$ 是 $v$ 的父亲，那么 $v$ 是 $u$ 的子结点
兄弟：同一父亲的多个子结点互为兄弟
子树：删除与父结点相连的边后，该结点所在的子图

3. 二叉树

遍历方式

前序遍历：根 → 左子树 → 右子树
中序遍历：左子树 → 根 → 右子树
后序遍历：左子树 → 右子树 → 根

遍历性质

前序遍历 + 中序遍历 = 确定唯一二叉树
后序遍历 + 中序遍历 = 确定唯一二叉树

在这里插入图片描述

特殊二叉树

满二叉树/完美二叉树

所有叶结点深度相同
深度为 $h$ 的满二叉树节点总数为： $2^h - 1$
叶结点数 $m_0$ 与度为2的结点数 $m_2$ 满足： $m_0 = m_2 + 1$
高度为： $⌊log⁡n⌋+1\lfloor \log n \rfloor + 1$

完全二叉树

只有最下面两层结点的度数可小于2
最下面一层的结点都集中在该层最左边

编号性质

对于满二叉树/完美二叉树/完全二叉树：

结点 $i$ 的左儿子编号为： $2 i$
结点 $i$ 的右儿子编号为： $2 i + 1$
结点 $i$ 的父结点编号为： $⌊i/2⌋\lfloor i/2 \rfloor$

4. 栈 (Stack)

定义与特性

后进先出 (LIFO) 表：Last In First Out
栈顶：栈的最顶端元素
栈底：栈的最底端元素

基本操作

操作	功能描述	时间复杂度
`push(x)`	元素 $x$ 入栈	$O (1)$
`pop()`	弹出栈顶元素	$O (1)$
`top()`	返回栈顶元素值	$O (1)$
`empty()`	判断栈是否为空	$O (1)$
`size()`	返回栈中元素个数	$O (1)$

5. 队列 (Queue)

定义与特性

先进先出 (FIFO) 表：First In First Out
队首：队列的第一个元素
队尾：队列的最后一个元素

基本操作

操作	功能描述	时间复杂度
`push(x)`	元素 $x$ 入队	$O (1)$
`pop()`	队首元素出队	$O (1)$
`front()`	返回队首元素值	$O (1)$
`empty()`	判断队列是否为空	$O (1)$
`size()`	返回队列元素个数	$O (1)$

6. 链表 (Linked List)

特点与性质

通过指针连接元素
与数组对比：
- 优点：插入删除操作高效（ $O (1)$ ）
- 缺点：随机访问效率低（ $O (n)$ ）
不支持随机访问：必须从头开始遍历

6.1 STL List 的使用

STL中的list是双向链表容器，基本操作如下：

// 初始化
list<int> myList;// 添加元素
myList.push_back(1);    // 在末尾添加
myList.push_front(2);   // 在开头添加// 删除元素
myList.pop_back();      // 删除末尾元素
myList.pop_front();     // 删除开头元素// 插入元素
auto it = myList.begin();
advance(it, 1);         // 移动迭代器
myList.insert(it, 3);   // 在指定位置插入// 删除指定元素
myList.remove(2);       // 删除所有值为2的元素// 遍历
for (auto it = myList.begin(); it != myList.end(); ++it) {cout << *it << " ";
}
// 或使用范围for循环
for (int val : myList) {cout << val << " ";
}// 其他操作
myList.size();          // 返回元素个数
myList.empty();         // 判断是否为空
myList.clear();         // 清空链表

7. 字符串 (String)

基本概念

子串：字符串中任意个连续字符组成的子序列
长度为 $n$ 的字符串：
- 所有子串个数： $n(n+1)2+1\frac{n(n+1)}{2} + 1$ （包含空串）
- 非空子串个数： $n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}$

表达式表示法

前缀表达式（波兰式）

运算符在前，操作数在后
例： $- + 123$ 对应中缀： $1 + 2 - 3$

中缀表达式

运算符在操作数中间
例： $1 + 2 - 3$

后缀表达式（逆波兰式）

操作数在前，运算符在后
例： $12 + 3 -$ 对应中缀： $1 + 2 - 3$
求值方法：使用栈模拟运算

逆波兰式运算的栈模拟代码

// 假设输入为vector<string>& tokens，包含数字和运算符
stack<int> st;
for (string token : tokens) {if (token == "+" || token == "-" || token == "*" || token == "/") {int b = st.top(); st.pop();int a = st.top(); st.pop();if (token == "+") st.push(a + b);else if (token == "-") st.push(a - b);else if (token == "*") st.push(a * b);else if (token == "/") st.push(a / b);} else {st.push(stoi(token)); // 将字符串转换为整数}
}
int result = st.top(); // 最终结果