树形数据结构之树状基础-算法赛

今天给分享的是一道算法决赛的题目，这道题目的综合要求比较高，希望大家可以好好理解，同时这道题用到的是树状树形结构的有关知识。可以用这几天学的相关内容结合起来。

问题描述

给定两个长度为 N的排列 A 和 B。若一对二元组下标 (i,j) 满足以下关系则被称之为压制二元组：

• 1≤i<j≤N。
• pAi​​<pAj​​，其中 px​ 表示值 x在数组 B 中的下标。

一对压制二元组的价值被定义为 j−ij−i，请你计算出所有压制二元组的价值之和。

排列的定义：长度为 N 的排列表示一个长度为 NN 的数组，其中 [1,N][1,N] 每个数都恰好出现一次。

输入格式

第一行输入一个整数 N(1≤N≤2×105)N(1≤N≤2×105) 表示排列的长度。

第二行输入 N 个整数A1​,A2​,A3​,⋯,AN​ 表示排列 A。

第三行输入 N 个整数B1​,B2​,B3​,⋯,BN​ 表示排列 B。

保证 A,B 是一个排列。

输出格式

输出一个整数表示答案。

输入案例：

4
2 4 1 3
4 1 2 3

输出案例：

7

说明

样例中有效的压制二元组有 1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，总价值为 4−1+3−2+4−2+4−3=7。

注意：二元组指的是下标对。

代码答案：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 200010;
int n;
int a[N],h[N]; // h[]存储每个数在B数组中的下标位置
LL b[N],c[N]; // b[]数组存储数量，c[]数组存储下标之和int lowbit(int x)
{return x & -x;
}void update(int pos,int x,LL d[])
{for(int i = pos;i <= n;i+=lowbit(i))d[i] += x;
}LL query(int pos,LL d[])
{LL res = 0;for(int i = pos;i;i-=lowbit(i)) res += d[i];return res;
}int main()
{scanf("%d", &n);for(int i = 1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);for(int i = 1;i<=n;i++){int x;scanf("%d",&x);h[x] = i;}LL ans = 0;for(int i = 1;i<=n;i++){update(h[a[i]],1,b);update(h[a[i]],i,c);ans += i * query(h[a[i]] - 1,b) - query(h[a[i]] - 1,c);}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

1.首先需要理解题目中所求的价值对应的是a中的坐标，即

对于当前元素i，所有符合条件的j（j<i且p[A[j]]<p[A[i]]）的总价值是：
sum(i-j) = i * 符合条件的j的数量 - sum(符合条件的j的具体值)

2.两个树状数组b和c的作用：

1. b数组：记录「在某个位置上有多少个历史元素」。

   • 当我们处理元素j时，会在b数组中h[A[j]]的位置加 1（表示该位置新增了一个元素）。
   • query(pos-1, b)的结果是：所有「位置小于当前pos」的历史元素的总数量（即满足p[A[j]] < p[A[i]]的j的个数）。

2. c数组：记录「在某个位置上所有历史元素的下标之和」。

   • 当我们处理元素j时，会在c数组中h[A[j]]的位置加j（表示该位置新增元素的下标是j）。
   • query(pos-1, c)的结果是：所有「位置小于当前pos」的历史元素的下标总和（即满足p[A[j]] < p[A[i]]的j的总和）。

3.根据案例的具体实现流程：

步骤 1：处理i=1（A[1]=2）

• pos = h[A[1]] = h[2] = 3（A[1]=2在B中的位置是 3）。
• 更新b和c：在位置 3 分别加 1 和 1（i=1）。
  • b数组状态：b[3] = 1（其他位置 0）。
  • c数组状态：c[3] = 1（其他位置 0）。
• 计算贡献：query(2, b) = 0（没有位置小于 3 的历史元素），所以ans += 1*0 - 0 = 0。
• 当前ans = 0。

步骤 2：处理i=2（A[2]=4）

• pos = h[A[2]] = h[4] = 1（A[2]=4在B中的位置是 1）。
• 更新b和c：在位置 1 分别加 1 和 2（i=2）。
  • b数组状态：b[1]=1，b[3]=1。
  • c数组状态：c[1]=2，c[3]=1。
• 计算贡献：query(0, b) = 0（没有位置小于 1 的历史元素），所以ans += 2*0 - 0 = 0。
• 当前ans = 0。

步骤 3：处理i=3（A[3]=1）

• pos = h[A[3]] = h[1] = 2（A[3]=1在B中的位置是 2）。
• 更新b和c：在位置 2 分别加 1 和 3（i=3）。
  • b数组状态：b[1]=1，b[2]=1，b[3]=1。
  • c数组状态：c[1]=2，c[2]=3，c[3]=1。
• 计算贡献：query(1, b) = 1（位置 1 有 1 个元素，即j=2），query(1, c) = 2（j=2的下标和）。
  • 贡献为 3*1 - 2 = 1，ans += 1。
• 当前ans = 1。

步骤 4：处理i=4（A[4]=3）

• pos = h[A[4]] = h[3] = 4（A[4]=3在B中的位置是 4）。
• 更新b和c：在位置 4 分别加 1 和 4（i=4）。
• 计算贡献：query(3, b) = 3（位置 1、2、3 共有 3 个元素，即j=1,2,3），query(3, c) = 2+3+1=6（这些j的下标和）。
  • 贡献为 4*3 - 6 = 6，ans += 6。
• 当前ans = 1 + 6 = 7（与样例输出一致）。