定积分常用方法

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文章目录集合

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1. 极限转为定积分

从极限转为定积分的核心思想是通过 黎曼和 将求和问题转化为积分问题。常见的转化公式包括：

1. 均匀分割的求和极限：
   $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left(a+i\cdot \frac{b-a}{n}\right)\cdot \frac{b-a}{n}={\int }_a^{b}f(x)dx$$

2. 无穷级数转定积分：
   $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}={\int }_0^{1}f(x)dx$$

2.常用的不定积分积分方法

分部积分法

(1) 分部积分法所适用的函数类

$$\int udv=uv-\int vdu$$

(2) 分部积分法所适用的函数类

分部积分法比较适用于两类不同函数相乘。如下列积分，这里 $ p_n(x) $ 为 $ x $ 的 $ n $ 次多项式。

$$\int p_n(x)e^{ax}dx,\int p_n(x)\sin axdx,\int p_n(x)\cos axdx,\int e^{ax}\sin axdx,$$

$$\int e^{ax}\cos axdx,\int p_n(x)\ln xdx,\int p_n(x)\arctan xdx,\int p_n(x)\arcsin xdx.$$

(3) 分部积分法中 ( u,v ) 的选取

分部积分法在使用时的关键是 ( u,v ) 的选取，换句话说就是把哪个数凑到微分号里去。

1. $\int p_n(x)e^{ax}dx,\int p_n(x)\sin axdx,\int p_n(x)\cos axdx$，这3种积分都应多项式以外的函数凑进微分号。
2. $\int e^{ax}\sin axdx,\int e^{ax}\cos axdx$，这2种积分把指数函数或三角函数凑进微分号都可以，但把指数凑进去更简单，连续两次将指数函数凑进去分部积分还原便可求解。
3. $\int p_n(x)\ln xdx,\int p_n(x)\arctan xdx,\int p_n(x)\arcsin xdx$，这3种积分都应多项式函数凑进微分号。

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第二换元积分法

定理 设 $x=\phi (t)$ 是单调的、可导的函数，并且 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$。又
$$\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt=F(t)+C,$$

则
$$\int f(x)dx=\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt=F(t)+C$$

$$=F[{\phi }^{-1}(x)]+C,$$

其中 ${\phi }^{-1}(x)$ 是 $x=\phi (t)$ 的反函数。

常用的三种变量代换：

1. 被积函数含有 $\sqrt{a^2-x^2}$，令 $x=a\sin t$ (或 $a\cos t$)。

2. 被积函数含有 $\sqrt{a^2+x^2}$，令 $x=a\tan t$。

3. 被积函数含有 $\sqrt{x^2-a^2}$，令 $x=a\sec t$。

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三角有理式积分

$$\int R(\sin x,\cos x)dx$$

(1) 一般方法（万能代换）

令 $\tan \frac{x}{2}=t$，

$$\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}dt$$

(2) 特殊方法（三角变形，换元，分部）

几种常用的换元法：

1. 若 $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$，则令 $u=\cos x$，或凑 $d\cos x$。

2. 若 $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$，则令 $u=\sin x$，或凑 $d\sin x$。

3. 若 $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$，则令 $u=\tan x$，或凑 $d\tan x$。

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3.定积分的积分方法

定积分的计算主要有以下五种方法：

1. 牛顿—莱布尼茨公式

设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则有
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)。$$

2. 换元积分法

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，函数 $x=\phi (t)$ 满足以下条件：

1. $\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$。
2. $\phi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$（或 $[\beta ,a]$）上有连续导数，且 $R_{\phi }\subseteq I$，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt。$$

3. 分部积分法

$${\int }_a^{b}udv=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu。$$

4. 利用奇偶性和周期性

(1) 设 $f(x)$ 为 $[-a,a]$ 上的连续函数 ($a>0$)，则
$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}0,& f(x)\text{为奇函数时},\\ & \\ 2{\int }_0^{a}f(x)dx,& f(x)\text{为偶函数时}.\end{array}$$

(2) 设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则对任给数 $a$，总有
$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx.$$

5. 利用已有公式

(1)
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{为正偶数}\\ & \\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3},& n\text{为大于1的奇数}\end{array}$$

(2)
$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx(\text{其中}f(x)\text{连续}).$$