【高等数学】第十一章 曲线积分与曲面积分——第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

上一节：【高等数学】第十一章 曲线积分与曲面积分——第六节 高斯公式 通量与散度
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1. 斯托克斯公式

• 斯托克斯公式
  设$\Gamma$为分段光滑的空间有向闭曲线，$\Sigma$是以$\Gamma$为边界的分段光滑的有向曲面，$\Gamma$的正向与$\Sigma$的侧符合右手规则，函数$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$与$R(x,y,z)$在曲面$\Sigma$（连同边界$\Gamma$）上具有一阶连续偏导数，则有斯托克斯公式$$\begin{gathered} \underset{\Sigma }{\iint }\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ ={\oint }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z \end{gathered}$$

  先假定$\Sigma$与平行于$z$轴的直线相交不多于一点，并设$\Sigma$为曲面$z=f(x,y)$的上侧，$\Sigma$的正向边界曲线$\Gamma$在$xOy$面上的投影为平面有向曲线$C$，$C$所围成的闭区域为$D_{xy}$
  $\underset{\Sigma }{\iint }\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm{d}z\mathrm{d}x-\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{\Sigma }{\iint }\left(\frac{\partial P}{\partial z}\cos \beta -\frac{\partial P}{\partial y}\cos \gamma \right)\mathrm{d}S.$
  曲面的法向量$\mathbf{n}=(f_x,f_y,-1)$，所以$\cos \beta =-f_y\cos \gamma$
  $$\begin{gathered} \underset{\Sigma }{\iint }\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm{d}z\mathrm{d}x-\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ =-\underset{\Sigma }{\iint }\left(\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z}{f}_z\right)\cos \gamma \mathrm{d}S=-\underset{\Sigma }{\iint }\left(\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z}{f}_y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \end{gathered}$$
  由于$\frac{\partial P}{\partial y}[x,y,f(x,y)]=\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z}\cdot f_y$
  $$\begin{gathered} \underset{\Sigma }{\iint }\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm{d}z\mathrm{d}x-\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ =-\underset{D_{xy}}{\iint }\frac{\partial }{\partial y}P[x,y,f(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{\Gamma }P[x,y,f(x,y)]\mathrm{d}x, \end{gathered}$$
  如果$\Sigma$取下侧，$\Gamma$也相应地改成相反的方向，那么两端同时改变符号，因此仍成立。
  如果曲面与平行于$z$轴的直线的交点多于一个，那么可作辅助曲线把曲面分成几部分，然后应用斯托克斯公式并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消，所以对于这一类曲面斯托克斯公式也成立。
  同样可证$$\underset{\Sigma }{\iint }\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y-\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\oint }_{\Gamma }Q\mathrm{d}y,$$ $$\underset{\Sigma }{\iint }\frac{\partial R}{\partial y}\mathrm{d}y\mathrm{d}z-\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}z\mathrm{d}x={\oint }_{\Gamma }R\mathrm{d}z.$$

• 方便的记法
  $$\underset{\Sigma }{\iint }\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}y\mathrm{d}z& \mathrm{d}z\mathrm{d}x& \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|={\oint }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z,$$
• 斯托克斯公式的另一种形式
  $$\underset{\Sigma }{\iint }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|\mathrm{d}S={\oint }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z,$$其中 $\mathbf{n}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 为有向曲面 $\Sigma$ 在点 $(x,y,z)$ 处的单位法向量。
• 与格林公式的关系
  如果$\Sigma$是$xOy$面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。
  因此，格林公式是斯托克斯公式的一种特殊情形。

2. 空间曲线积分与路径无关的条件

• 条件
  设区域$G$是一维单连通域，若函数$P(x,y,z),Q(x,y,z)$与$R(x,y,z)$在$G$内具有一阶连续偏导数，
  则空间曲线积分${\int }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$在$G$内与路径无关（或沿$G$内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$$在$G$内恒成立。
• 与路径无关的空间曲线积分的求法
  设区域 $G$ 是空间一单连通区域，若函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z)$ 与 $R(x,y,z)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，
  则表达式 $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$ 在 $G$ 内成为某一函数 $u(x,y,z)$ 的全微分的充分必要条件是空间曲线积分与路径无关的条件在 $G$ 内恒成立，此时，这函数（不计一常数之差）可用下式求出：$$u(x,y,z)={\int }_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$$或用定积分表示为（积分路径为折线且在$G$内）：$$u(x,y,z)={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0,z_0)\mathrm{d}x+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y,z_0)\mathrm{d}y+{\int }_{z_0}^{z}R(x,y,z)\mathrm{d}z.$$其中 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 为 $G$ 内某一定点，点 $M(x,y,z)\in G$。

3. 环流量与旋度

• 环流量
  设有向量场$$\mathbf{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k},$$其中函数 $P,Q$ 与 $R$ 均连续，$\Gamma$ 是 $\mathbf{A}$ 的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线，$\mathbf{\tau }$ 是 $\Gamma$ 在点 $(x,y,z)$ 处的单位切向量，则积分$${\oint }_{\Gamma }\mathbf{A}\cdot \mathbf{\tau }\mathrm{d}s$$称为向量场 $\mathbf{A}$ 沿有向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量。
• 环流量的其他表达
  $${\oint }_{\Gamma }\mathbf{A}\cdot \mathbf{\tau }\mathrm{d}s={\oint }_{\Gamma }\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\oint }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z.$$
• 旋度
  设有一向量场$$\mathbf{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k},$$其中函数 $P,Q$ 与 $R$ 均具有一阶连续偏导数，则向量$$\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}$$称为向量场 $\mathbf{A}$ 的旋度，记作 $\mathrm{rot}\mathbf{A}$，即$$\mathrm{rot}\mathbf{A}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}$$利用向量微分算子 $\nabla$，向量场 $\mathbf{A}$ 的旋度 $\mathrm{rot}\mathbf{A}$ 可表示为 $\nabla \times \mathbf{A}$，即$$\mathrm{rot}\mathbf{A}=\nabla \times \mathbf{A}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|.$$
• 无旋场与调和场
  若向量场$\mathbf{A}$的旋度$\mathrm{rot}\mathbf{A}$处处为零，则称向量场$\mathbf{A}$为无旋场。
  而一个无源且无旋的向量场称为调和场。调和场是物理学中另一类重要的向量场，这种场与调和函数密切相关。
• 斯托克斯公式的向量形式
  $$\underset{\Sigma }{\iint }\mathrm{rot}\mathbf{A}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S=\underset{\Sigma }{\iint }\nabla \times \mathbf{A}\mathrm{d}\mathbf{S}={\oint }_{\Gamma }\mathbf{A}\cdot \mathbf{\tau }\mathrm{d}s$$ $$\underset{\Sigma }{\iint }(\mathrm{rot}\mathbf{A}{)}_{\mathbf{n}}\mathrm{d}S={\oint }_{\Gamma }{\mathbf{A}}_{\tau }\mathrm{d}s$$向量场$\mathbf{A}$沿有向闭曲线$\Gamma$的环流量等于向量场$\mathbf{A}$的旋度通过曲面$\Sigma$的通量，这里$\Gamma$的正向与$\Sigma$的侧应符合右手规则。
• 从力学的角度理解旋度
  设有刚体绕定轴 $l$ 转动，角速度为 $\mathbf{\omega }$，$M$ 为刚体内任意一点。在定轴 $l$ 上任取一点 $O$ 为坐标原点，作空间直角坐标系，使 $z$ 轴与定轴 $l$ 重合，$\mathbf{\omega }=\omega \mathbf{k}$，而点 $M$可用向量$\mathbf{r}=\overrightarrow{OM}=(x,y,z)$来确定。由力学知道，点$M$的速度$\mathbf{v}$表示为$$\mathbf{v}=\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 0& 0& \omega \\ x& y& z\end{array}\right|=(-\omega y,\omega x,0)$$而$$\mathrm{rot}\mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ x& y& z\end{array}\right|=(0,0,2\omega )=2\mathbf{\omega }$$从速度场的旋度与旋转角速度的这个关系，可见“旋度”这一名词的由来。

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