泛函Φ(u)驻点的方程与边界条件 / 求给定泛函驻点满足的方程及边界条件

题目：

问题11：写出泛函

$$\Phi (u)={\iint }_D$$u_{x}^{{2}+2u_{x}u_{y}+3u_{y}}{2}),dxdy+2\int_{ \Gamma}g(x)u,dx$$

的驻点所满足的方程和边界条件，其中 D={(x,y) ⁣:0<x<2, 0<y<1}D=\{(x,y)\colon 0<x<2,\,0<y<1\}D={(x,y):0<x<2,0<y<1}，Γ={(x,y) ⁣:y=1}\Gamma=\{(x,y)\colon y=1\}Γ={(x,y):y=1}，且满足边界条件

$$u{|}_{y=0}=u{|}_{x=0}=u{|}_{x=2}=u{|}_{y=1,0<x<1}=0.$$

解题过程：

为了找到泛函 $$\Phi (u)$$ 的驻点，需要求解其欧拉-拉格朗日方程并推导自然边界条件。泛函中的被积函数为 $$F=u_x^2+2u_x{u}_y+3u_y^2$$，由于 $$F$$ 不显含 $$u$$，欧拉-拉格朗日方程为：

$$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F}{\partial u_x}-\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F}{\partial u_y}=0$$

计算偏导数：
$$\frac{\partial F}{\partial u_x}=2u_x+2u_y,\frac{\partial F}{\partial u_y}=2u_x+6u_y$$
$$\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F}{\partial u_x}=2u_{xx}+2u_{xy},\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F}{\partial u_y}=2u_{xy}+6u_{yy}$$

代入方程：
$$0-(2u_{xx}+2u_{xy})-(2u_{xy}+6u_{yy})=0$$
简化得：
$$-2u_{xx}-4u_{xy}-6u_{yy}=0$$
即：
$$u_{xx}+2u_{xy}+3u_{yy}=0$$

接下来处理边界条件。给定的边界条件为：

• $$u=0$$ on $$y=0$$ (底部边界)
• $$u=0$$ on $$x=0$$ (左侧边界)
• $$u=0$$ on $$x=2$$ (右侧边界)
• $$u=0$$ on $$y=1$$ for $$0<x<1$$ (部分顶部边界)

在顶部边界 $$y=1$$ 上，对于 $$1<x<2$$，$$u$$ 未被指定，因此需要从泛函的变分中推导自然边界条件。考虑变分 $$\delta \Phi =0$$，并利用积分 by parts，得到在 $$y=1$$ 上 for $$1<x<2$$ 的条件：
$$u_x+3u_y+g(x)=0$$

答案：

驻点满足的偏微分方程为：
$$u_{xx}+2u_{xy}+3u_{yy}=0$$
边界条件为：

• $$u(x,0)=0$$ for $$0<x<2$$
• $$u(0,y)=0$$ for $$0<y<1$$
• $$u(2,y)=0$$ for $$0<y<1$$
• $$u(x,1)=0$$ for $$0<x<1$$
• On $$y=1$$ for $$1<x<2$$: $$u_x+3u_y+g(x)=0$$