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分数阶傅里叶变换(FRFT)的MATLAB实现

news 2025/9/12 9:08:23

分数阶傅里叶变换(FRFT)的MATLAB实现

分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform, FRFT)是傅里叶变换的广义形式，在时频分析、信号处理和光学等领域有广泛应用。

基本FRFT实现

1. 分解算法实现

function F = frft(f, a)
% FRFT 计算信号的分数阶傅里叶变换
% 输入: f - 输入信号
%       a - 分数阶次 (0 <= a <= 4, a=1时等于标准傅里叶变换)
% 输出: F - 分数阶傅里叶变换结果N = length(f);
alpha = a * pi/2;% 特殊情况处理
if a == 0F = f;return;
elseif a == 2F = flipud(f);return;
elseif a == 4F = f;return;
end% 计算变换核
if mod(a, 2) == 1% 奇数阶次F = fft(f) / sqrt(N);if a == 1return;else% 对于其他奇数阶次，需要进行额外的处理F = frft(F, a-1);end
else% 一般情况下的分解算法% 步骤1: 信号 chirp 调制n = (0:N-1)';chirp1 = exp(-1i*pi*n.^2*tan(alpha/2)/N);f1 = f .* chirp1;% 步骤2: 卷积chirp2 = exp(1i*pi*n.^2*sin(alpha)/N);F = conv(f1, chirp2, 'same');% 步骤3: chirp 解调chirp3 = exp(-1i*pi*n.^2*tan(alpha/2)/N);F = F .* chirp3;% 步骤4: 乘以常数因子F = F * exp(-1i*(pi*sign(sin(alpha))/4 - alpha/2)) / sqrt(abs(sin(alpha)));
end
end

2. 基于特征分解的实现

function F = frft_eig(f, a)
% FRFT_EIG 基于特征分解的分数阶傅里叶变换
% 输入: f - 输入信号
%       a - 分数阶次
% 输出: F - 分数阶傅里叶变换结果N = length(f);
alpha = a * pi/2;% 计算特征向量和特征值
[V, D] = eig(frft_matrix(N, a));% 计算变换结果
F = V * diag(exp(-1i * diag(D) * alpha)) * V' * f;
endfunction F = frft_matrix(N, a)
% FRFT_MATRIX 生成分数阶傅里叶变换矩阵
% 输入: N - 矩阵大小
%       a - 分数阶次
% 输出: F - 分数阶傅里叶变换矩阵alpha = a * pi/2;
n = 0:N-1;
m = n';% 计算变换核
F = zeros(N, N);
for i = 1:Nfor j = 1:Nif abs(sin(alpha)) > epsF(i,j) = exp(-1i*pi*(cot(alpha)*(i-1)^2 - ...2*cot(alpha)*(i-1)*(j-1) + cot(alpha)*(j-1)^2)) / ...sqrt(abs(sin(alpha))/N);elseif i == jF(i,j) = 1;elseF(i,j) = 0;endendend
end
end

3. 快速FRFT算法

function F = fast_frft(f, a)
% FAST_FRFT 快速分数阶傅里叶变换算法
% 输入: f - 输入信号
%       a - 分数阶次
% 输出: F - 分数阶傅里叶变换结果N = length(f);
alpha = a * pi/2;% 特殊情况处理
if abs(mod(a, 4)) < epsF = f;return;
elseif abs(mod(a, 2)) < epsF = flipud(f);return;
end% 计算chirp信号
n = (0:N-1)';
chirp_signal = exp(1i*pi*n.^2*tan(alpha/2)/N);% 第一步：信号与chirp相乘
f1 = f .* chirp_signal;% 第二步：卷积
chirp_conv = exp(1i*pi*n.^2*sin(alpha)/N);
f2 = conv(f1, chirp_conv, 'same');% 第三步：再次与chirp相乘
F = f2 .* chirp_signal;% 乘以缩放因子
F = F * exp(-1i*(pi*sign(sin(alpha))/4 - alpha/2)) / sqrt(abs(sin(alpha)));
end

FRFT应用示例

1. 时频分析示例

% 生成测试信号
fs = 1000; % 采样率
t = 0:1/fs:1-1/fs; % 时间向量
f1 = 50; % 频率1
f2 = 120; % 频率2% 创建信号：两个不同时间出现的频率成分
x = zeros(size(t));
x(1:floor(length(t)/2)) = sin(2*pi*f1*t(1:floor(length(t)/2)));
x(floor(length(t)/2)+1:end) = sin(2*pi*f2*t(floor(length(t)/2)+1:end));% 添加噪声
x = x + 0.5*randn(size(x));% 计算不同阶次的FRFT
a_values = 0:0.1:2; % 分数阶次范围
frft_results = zeros(length(a_values), length(x));for i = 1:length(a_values)a = a_values(i);frft_results(i, :) = abs(fast_frft(x, a)).^2;
end% 绘制时频分布
figure;
imagesc(t, a_values, frft_results);
xlabel('时间 (s)');
ylabel('分数阶次 a');
title('分数阶傅里叶变换时频分布');
colorbar;
axis xy;
colormap(jet);

2. 信号分离示例

% 信号分离示例
% 创建两个chirp信号
fs = 1000;
t = 0:1/fs:1;
f1 = 100 + 200*t; % 线性调频信号1
f2 = 300 - 150*t; % 线性调频信号2x = chirp(t, f1(1), 1, f1(end)) + chirp(t, f2(1), 1, f2(end));% 计算FRFT
a = 0:0.01:2;
energy = zeros(size(a));for i = 1:length(a)X = fast_frft(x, a(i));energy(i) = max(abs(X).^2);
end% 找到能量最大的阶次
[~, idx] = max(energy);
optimal_a = a(idx);% 在最优阶次下计算FRFT
X_optimal = fast_frft(x, optimal_a);% 绘制结果
figure;
subplot(3,1,1);
plot(t, x);
title('原始信号');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅度');subplot(3,1,2);
plot(a, energy);
title('FRFT能量随阶次变化');
xlabel('分数阶次 a');
ylabel('最大能量');
hold on;
plot(optimal_a, energy(idx), 'ro', 'MarkerSize', 10);
hold off;subplot(3,1,3);
plot(abs(X_optimal).^2);
title(['最优阶次 a = ', num2str(optimal_a), ' 下的FRFT']);
xlabel('样本点');
ylabel('能量');

3. 图像处理应用

% FRFT在图像处理中的应用
% 读取图像
img = imread('cameraman.tif');
img = im2double(img);% 对图像的每一行进行FRFT
a = 0.5; % 选择分数阶次
[m, n] = size(img);
img_frft = zeros(m, n);for i = 1:mimg_frft(i, :) = abs(fast_frft(img(i, :), a));
end% 对图像的每一列进行FRFT
img_frft2 = zeros(m, n);
for j = 1:nimg_frft2(:, j) = abs(fast_frft(img_frft(:, j), a));
end% 显示结果
figure;
subplot(1,2,1);
imshow(img);
title('原始图像');subplot(1,2,2);
imshow(img_frft2, []);
title(['二维FRFT (a = ', num2str(a), ')']);

高级功能：FRFT工具箱

classdef FRFToolbox% FRFTOOLBOX 分数阶傅里叶变换工具箱propertiessignalfsa_valuesfrft_matrixendmethodsfunction obj = FRFToolbox(signal, fs)% FRFTOOLBOX 构造函数obj.signal = signal;obj.fs = fs;endfunction obj = compute_frft_matrix(obj, a_values)% COMPUTE_FRFT_MATRIX 计算多个阶次的FRFTobj.a_values = a_values;obj.frft_matrix = zeros(length(a_values), length(obj.signal));for i = 1:length(a_values)a = a_values(i);obj.frft_matrix(i, :) = fast_frft(obj.signal, a);endendfunction plot_time_frequency(obj)% PLOT_TIME_FREQUENCY 绘制时频分布if isempty(obj.frft_matrix)error('请先调用compute_frft_matrix方法');endt = (0:length(obj.signal)-1)/obj.fs;figure;imagesc(t, obj.a_values, abs(obj.frft_matrix).^2);xlabel('时间 (s)');ylabel('分数阶次 a');title('分数阶傅里叶变换时频分布');colorbar;axis xy;colormap(jet);endfunction [optimal_a, optimal_energy] = find_optimal_order(obj)% FIND_OPTIMAL_ORDER 找到最优分数阶次if isempty(obj.frft_matrix)error('请先调用compute_frft_matrix方法');endenergy = max(abs(obj.frft_matrix).^2, [], 2);[optimal_energy, idx] = max(energy);optimal_a = obj.a_values(idx);endfunction filtered_signal = filter_signal(obj, a_range)% FILTER_SIGNAL 在特定阶次范围内滤波信号if isempty(obj.frft_matrix)error('请先调用compute_frft_matrix方法');end% 找到在指定范围内的阶次索引idx = obj.a_values >= a_range(1) & obj.a_values <= a_range(2);% 计算逆FRFTfiltered_signal = zeros(size(obj.signal));for i = 1:length(obj.a_values)if idx(i)% 使用逆FRFT重建信号inv_a = -obj.a_values(i);filtered_signal = filtered_signal + fast_frft(obj.frft_matrix(i, :), inv_a);endendendend
end

使用

% 使用FRFT工具箱示例
fs = 1000;
t = 0:1/fs:1-1/fs;% 创建测试信号：线性调频信号
f0 = 50;
f1 = 200;
x = chirp(t, f0, 1, f1);% 添加噪声
x = x + 0.2*randn(size(x));% 创建FRFT工具箱对象
toolbox = FRFToolbox(x, fs);% 计算多个阶次的FRFT
a_values = 0:0.05:2;
toolbox = toolbox.compute_frft_matrix(a_values);% 绘制时频分布
toolbox.plot_time_frequency();% 找到最优阶次
[optimal_a, optimal_energy] = toolbox.find_optimal_order();
fprintf('最优分数阶次: %.2f, 最大能量: %.2f\n', optimal_a, optimal_energy);% 在最优阶次附近滤波信号
a_range = [optimal_a-0.1, optimal_a+0.1];
filtered_signal = toolbox.filter_signal(a_range);% 绘制原始信号和滤波后信号
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, x);
title('原始信号');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅度');subplot(2,1,2);
plot(t, filtered_signal);
title('滤波后信号');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅度');