量化冗余分析中变量的关系丨TomatoSCI分析日记
大部分文章在讲冗余分析里变量关系的时候，包括我之前也是，常常通过“锐角表示正相关，钝角表示负相关，直角表示没关系”去判断。
乍一看好像挺简单，但其实很笼统，也很主观——除了大概分出锐角、直角和钝角，你很难判断具体角度是多少，更别说比较谁更强、谁更弱了，尤其是那些角度差不多的箭头。
应该把这种正向/负向关系量化出来，让数据来说话。研究问题的时候，不能靠主观判断，量化之后，原本的“锐角、直角、钝角”就变成了实实在在的数字，更直观，也更有说服力。
01 用夹角的余弦值（cosθ）衡量相关程度
在排序图里，每个变量都是一个箭头。两个箭头的夹角越小，方向越接近，说明它们的关系越强，对于这个关系，我们习惯使用的相关程度的范围是[-1,1]，越强越接近1，越弱越接近-1，而cosθ就刚好落在这个范围内，回顾一下数学的知识：
当0° ≤ θ ≤ 90°：cosθ大于0，角度越大值越小，从 1 降到 0，对应的是锐角变直角。
当90° ≤ θ ≤ 180°：cosθ小于 0，角度越大值越小，从 0 降到 -1，对应的是直角变钝角。
当180° ≤ θ ≤ 270°：cosθ小于 0，递增，从 -1 升到 0，对应的是钝角变直角。
当270° ≤ θ ≤ 360°：cosθ大于 0，递增，从 0 升到 1，对应的是直角变锐角。
也就是说，一整圈里 cosθ 的走势就是：1 → 0 → -1 → 0 → 1。所以当我们都用夹角余弦值这个统一标准来衡量相关程度的话，就可以实现孰高孰低、孰强孰弱的比较，而不是主观地去判断。
通过图1我们可以看到，角度和相关性大小都可以对应上的，如果不量化根本没办法描述小多小，大是多大。
02 量化完之后可以做些什么
第一个，我们可以绘制一些可视化的图表，最常见就是热图了，这样不仅可以高效呈现我们的成果，也可以增加工作量，使文章的内容更加饱满。
第二个，我们可以设一个相关性阈值，比如绝对值大于0.7，就认为两个变量之间关系比较密切，值得讨论。这个阈值的作用就是，筛选掉一些不重要的信息，如果我总共有20个变量，那做出来的结果是非常多的，如果把它们都写出来，那就很容易被认为是在记流水账，这个时候我们通过阈值就可以把一些重要的信息挑出来讨论，这也是一个丰富文章内容的策略。
03 理解难点
1. 为什么不用sinθ或者tanθ？
sinθ 在 0° 和 180° 都等于 0，无法区分正相关和负相关；tanθ 在接近 90° 或 270° 时其值为无限，无法比较（图2）。
- cosθ的值怎么计算？
在 RDA 排序图中，每个变量都被量化成直角坐标系中的一个从零发射出来的箭头，也就是一个向量。两个箭头之间的 cosθ，其实就是看一个向量在另一个向量上的投影占原长度的比例，公式如图3：
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