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从生日悖论看哈希函数的冲突问题

news 2025/9/10 11:35:57

在讨论这个问题之前，先回顾一下哈希表是什么

1. 哈希表是什么？

哈希表（Hash Table）是一种键–值对存储结构。

形象理解：
👉 就像一个“大柜子”，有很多小格子（桶）。
👉 你把名字（键）交给管理员（哈希函数），管理员告诉你“放到第 17 号格子”。
👉 下次再来找，只要去第 17 号格子就能拿到对应的值。

2. 哈希函数是什么？

哈希函数（Hash Function）就是一个把任意输入映射到固定范围整数的函数。

常见形式：

$\mod m$

（对整数键取模）

好的哈希函数要满足：

均匀性：让键尽可能分布均匀

确定性：相同输入必然映射到相同输出

高效性：计算要快

3. 哈希表的优势

查找、插入、删除平均时间复杂度为 O(1)

实现简单，底层就是数组 + 哈希函数

4. 哈希表的问题：冲突

因为桶的数量有限，不同的键可能映射到同一个位置，这叫冲突 (Collision)。

常见的解决冲突的方法有：

链地址法（Chaining）开放寻址法（Open Addressing）双重哈希 / 再哈希Cuckoo Hashing

什么是生日悖论

最简单的想法就是每个人的生日不相同的概率与直觉相违背。
比如：

我们知道 367 个人里必然有两个人同生日；

但很少人知道其实 23 个人时概率就超过 50%；

当人数达到 100 人时概率接近 99.997%。

生日悖论（Birthday Paradox）指的是这样一个现象：
在只有 23 个人的群体里，至少有两个人生日相同的概率就超过 50%；当人数达到 100 时，这个概率几乎是 100%。

之所以叫“悖论”，是因为直觉认为要接近 365 人才会撞生日，但实际上由于人数一多，两两比较的组合数急剧增加，重复的可能性比想象大得多。

数学推导（不计闰年）

设房间里有n个人，一年有m=365天。
所有人互不相同的概率：
$P_{\text{distinct}}(n)=\frac{m!}{(m-n)!\,m^n}$
至少两人同生日的概率：
$P_{\text{collision}}(n) = 1 - P_{\text{distinct}}(n)$
关键在于这个排列数，增长速度是飞快的。
下面给出一个python模拟代码可以看看这个小例子：

import random
from collections import Counterdef simulate_birthdays(n_people=100, n_days=365):# 随机生成 n_people 个生日（取值 1 到 n_days）birthdays = [random.randint(1, n_days) for _ in range(n_people)]return birthdaysdef has_duplicate(birthdays):c = Counter(birthdays)# 如果有任何一个生日出现次数 > 1，就说明有重复return any(count > 1 for count in c.values()), cdef main(trials=10000):duplicate_count = 0for _ in range(trials):bb = simulate_birthdays()dup, cnt = has_duplicate(bb)if dup:duplicate_count += 1print(f"在 {trials} 次模拟中，至少一对生日相同的频率是 {duplicate_count/trials:.6f}")# 这里再展示一次单次模拟的具体生日分布example = simulate_birthdays()print("一次模拟生成的 100 人生日样本如下：")print(sorted(example))if __name__ == "__main__":main()

如何估计生日悖论概率超过50%的数量？

事件：在 $n$ 次独立投掷到 $m$ 个等概率“格子”里，出现 至少一对碰撞（两次落同格）。

用泊松/指数近似：

$P(\text{碰撞}) \approx 1-\exp\!\Big(-\tfrac{n(n-1)}{2m}\Big)$

令 $P(碰撞)=0.5P(\text{碰撞})=0.5$ ，得门槛 $n_{50}$ ：

$n_{50} \;\approx\; \sqrt{2m\ln 2} \;=\; 1.1774\,\sqrt{m}$

生日问题： $m = 365$
$n_{50}\approx 1.1774\sqrt{365}\approx 22.5$
四舍五入就是 23。
$b$ 位哈希： $m=2^b$
$n_{50}\approx 1.1774\cdot 2^{b/2}$

例：64 位哈希
$n_{50}\approx 1.1774\cdot 2^{32}\approx 5.05\times 10^9$