排序---快速排序（Quick Sort）

一、算法核心概念

快速排序是一种分治法（Divide and Conquer） 思想的排序算法，由计算机科学家Tony Hoare于1960年提出。其核心思想是：通过选择一个“基准元素”（Pivot），将数组划分为两个子数组，其中左子数组的元素均小于等于基准，右子数组的元素均大于等于基准；然后递归地对两个子数组执行相同操作，最终使整个数组有序。

快速排序的高效性源于分区操作（Partition）——每次分区能将一个元素（基准）放到最终位置，同时将问题规模缩小一半（理想情况），从而实现接近O(nlogn)的时间复杂度。

二、基本工作原理

快速排序的工作流程可概括为三步：选择基准→分区→递归排序，具体如下：

1. 选择基准（Pivot Selection）
   从数组中选择一个元素作为基准（如第一个、最后一个、中间元素或随机元素）。基准的选择直接影响算法效率（后续优化部分详细说明）。

2. 分区（Partition）
   重新排列数组，使所有小于基准的元素移到基准左侧，所有大于基准的元素移到基准右侧（等于基准的元素可放任意侧）。分区后，基准元素的位置即为其在最终有序数组中的位置。

3. 递归排序
   对基准左侧的子数组和右侧的子数组分别重复上述步骤（选择基准→分区），直至子数组长度为0或1（天然有序）。

三、分区策略（核心步骤详解）

分区是快速排序的核心操作，常用的分区方法有双边循环法和单边循环法，以下以双边循环法为例详细说明：

双边循环法步骤（升序排序）：

• 初始状态：设数组为arr，左边界left，右边界right，选择arr[left]为基准pivot。
• 左指针i从left开始向右移动，寻找第一个大于pivot的元素；
• 右指针j从right开始向左移动，寻找第一个小于pivot的元素；
• 若i < j，交换arr[i]和arr[j]，重复上述步骤；
• 当i >= j时，交换arr[left]（基准）和arr[j]，此时j为基准的最终位置，分区完成。

四、实例演示（完整排序过程）

以数组[4, 7, 6, 5, 3, 2, 8, 1]为例，演示快速排序过程：

1. 第一次分区：

   • 选择基准pivot = 4（第一个元素），left=0，right=7；
   • 左指针i右移，找到第一个大于4的元素7（索引1）；
   • 右指针j左移，找到第一个小于4的元素1（索引7）；
   • 交换7和1→数组变为[4, 1, 6, 5, 3, 2, 8, 7]；
   • 继续移动指针：i找到6（索引2），j找到2（索引5），交换→[4, 1, 2, 5, 3, 6, 8, 7]；
   • 继续移动：i找到5（索引3），j找到3（索引4），交换→[4, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 7]；
   • 此时i=4，j=4（i >= j），交换基准4和arr[j]→[3, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 7]；
   • 分区完成，基准4的位置为索引3，左子数组[3,1,2]，右子数组[5,6,8,7]。

2. 递归处理左子数组[3,1,2]：

   • 选择基准3，分区后得到[2,1,3]，基准3在索引2，左子数组[2,1]。
   • 递归处理[2,1]，分区后得到[1,2]。

3. 递归处理右子数组[5,6,8,7]：

   • 选择基准5，分区后5在索引0，右子数组[6,8,7]。
   • 处理[6,8,7]，选择基准6，分区后6在索引0，右子数组[8,7]。
   • 处理[8,7]，分区后得到[7,8]。

4. 最终有序数组：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]。

五、时间复杂度与空间复杂度

• 时间复杂度：

  • 理想情况（基准每次将数组分为等长两部分）：每轮分区处理n个元素，递归深度为logn，总操作次数为O(nlogn)；
  • 最坏情况（基准为数组的最值，如已排序数组选第一个元素）：每次分区仅减少1个元素，递归深度为n，总操作次数为O(n²)；
  • 平均情况：通过合理选择基准（如随机选择），可避免最坏情况，平均时间复杂度为O(nlogn)。

• 空间复杂度：
  快速排序为原地排序（仅需常数空间存储临时变量），但递归调用会产生栈空间开销：

  • 理想情况：递归深度为logn，空间复杂度O(logn)；
  • 最坏情况：递归深度为n，空间复杂度O(n)。

六、稳定性分析

快速排序是不稳定的排序算法。

• 原因：分区过程中，相等元素的相对顺序可能被破坏。例如，数组[2, 2, 1]中，若选择第一个2为基准，分区时会将1与第一个2交换，导致两个2的相对顺序颠倒（变为[1, 2, 2]，虽然结果有序，但原数组中第一个2在第二个2之前，排序后位置交换）。

七、优化策略（避免最坏情况）

快速排序的性能极大依赖基准选择，以下是常见优化手段：

1. 随机选择基准
   每次从当前区间随机选择一个元素作为基准，避免在有序数组中总是选择最值作为基准（概率上降低最坏情况发生的可能性）。

2. 三数取中法
   从区间的首、尾、中间三个位置选择中间值作为基准（如median(arr[left], arr[mid], arr[right])），适用于已知数据可能接近有序的场景。

3. 小规模子数组改用插入排序
   当子数组长度小于阈值（如10）时，改用插入排序（插入排序在小规模数据上效率高于快速排序，减少递归开销）。

4. 尾递归优化
   对较大的子数组采用递归，较小的子数组采用循环，减少递归栈深度（避免栈溢出）。

八、C++实现代码（含优化）

以下实现采用随机选择基准和双边循环分区，并添加基本边界处理：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>  // 用于rand()和srand()
#include <ctime>    // 用于time()初始化随机数种子
using namespace std;// 交换两个元素
void swap(int& a, int& b) {int temp = a;a = b;b = temp;
}// 随机选择基准并分区（双边循环法）
int partition(vector<int>& arr, int left, int right) {// 随机选择基准索引（避免最坏情况）int pivotIndex = left + rand() % (right - left + 1);// 将基准交换到区间左侧（方便分区逻辑）swap(arr[left], arr[pivotIndex]);int pivot = arr[left];  // 基准值int i = left;   // 左指针（从left开始）int j = right;  // 右指针（从right开始）while (i < j) {// 右指针左移：找到第一个小于pivot的元素while (i < j && arr[j] >= pivot) {j--;}// 左指针右移：找到第一个大于pivot的元素while (i < j && arr[i] <= pivot) {i++;}// 交换左右指针指向的元素if (i < j) {swap(arr[i], arr[j]);}}// 将基准放到最终位置（i=j处）swap(arr[left], arr[i]);return i;  // 返回基准索引
}// 快速排序主函数
void quickSort(vector<int>& arr, int left, int right) {// 递归终止条件：区间长度 <= 1if (left >= right) {return;}// 分区：得到基准的最终位置int pivotPos = partition(arr, left, right);// 递归排序左子数组quickSort(arr, left, pivotPos - 1);// 递归排序右子数组quickSort(arr, pivotPos + 1, right);
}int main() {// 初始化随机数种子（确保每次运行随机基准不同）srand(time(nullptr));vector<int> arr = {4, 7, 6, 5, 3, 2, 8, 1};cout << "排序前：";for (int num : arr) {cout << num << " ";}quickSort(arr, 0, arr.size() - 1);cout << "\n排序后：";for (int num : arr) {cout << num << " ";}// 输出：排序前：4 7 6 5 3 2 8 1 //      排序后：1 2 3 4 5 6 7 8 return 0;
}

九、适用场景与优缺点

适用场景：

1. 大规模数据排序：平均时间复杂度O(nlogn)，实际性能优于归并排序和堆排序（缓存友好，局部性好）；
2. 内存受限场景：原地排序（除递归栈外无需额外空间），空间效率高；
3. 通用排序需求：C++标准库的std::sort、Java的Arrays.sort（针对基本类型）等均采用快速排序的变种（如 introsort）。

优点：

• 平均性能优异，实际应用中排序速度快；
• 原地排序，空间复杂度低（O(logn)）；
• 对缓存友好（局部访问数据，符合CPU缓存机制）。

缺点：

• 不稳定，不适合要求保持相等元素相对顺序的场景；
• 最坏情况时间复杂度为O(n²)（需通过基准选择优化避免）；
• 递归实现可能导致栈溢出（可通过尾递归优化解决）。

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快速排序是分治法的经典应用，通过“选择基准→分区→递归”三步实现高效排序。其核心优势在于平均O(nlogn)的时间复杂度和原地排序特性，使其成为实际应用中最常用的排序算法之一。尽管存在不稳定性和最坏情况风险，但通过随机基准、三数取中等优化策略，可有效规避缺陷。理解快速排序的分区逻辑和优化思想，不仅能掌握一种高效排序方法，更能深化对分治法的理解，为解决复杂算法问题提供思路。