【高等数学】第十一章 曲线积分与曲面积分——第四节 对面积的曲面积分

上一节：【高等数学】第十一章 曲线积分与曲面积分——第三节 格林公式及其应用
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1. 对面积的曲面积分的概念与性质

• 定义
  设曲面$\Sigma$是光滑的，函数$f(x,y,z)$在$\Sigma$上有界。
  把$\Sigma$任意分成$n$小块$\Delta S_i$（$\Delta S_i$同时也代表第$i$小块曲面的面积），
  设$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$是Δ$S_i$上任意取定的一点，作乘积$f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$（$i=1,2,3,\cdots ,n$），并作和$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$。
  如果当各小块曲面的直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在，且与曲面 $\Sigma$ 的分法及点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$ 的取法无关，
  那么称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作 $\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S$，即$$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S,$$其中 $f(x,y,z)$ 叫做被积函数，$\Sigma$ 叫做积分曲面。
• 存在性
  当$f(x,y,z)$在光滑曲面$\Sigma$上连续时，对面积的曲面积分是存在的
• 分片光滑
  如果$\Sigma$是分片光滑的，规定函数在$\Sigma$上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和。即$$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{{\Sigma }_1}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S+\underset{{\Sigma }_2}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S$$
• 性质
  对面积的曲面积分是对对弧长的曲线积分升了一维，它具有与对弧长的曲线积分相类似的性质

2. 对面积的曲面积分的计算法

• 积分区域
  设积分曲面 $\Sigma$ 由方程 $z=z(x,y)$ 给出，$\Sigma$ 在 $xOy$ 面上的投影区域为 $D_{xy}$，
  函数 $z=z(x,y)$ 在 $D_{xy}$ 上具有连续偏导数，被积函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上连续。
• 微元
  设$\Sigma$上第$i$小块曲面$\Delta S_i$（它的面积也记作$\Delta S_i$）在$xOy$面上的投影区域为$(\Delta {\sigma }_i{)}_{xy}$（它的面积也记作$(\Delta {\sigma }_i{)}_{xy}$），式中的$\Delta S_i$可表示为二重积分$$\Delta Si=\underset{(\Delta {\sigma }_i{)}_{xy}}{\iint }\sqrt{(1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y))}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
  利用二重积分的中值定理，上式又可写成$$\Delta S_i=\sqrt{1+z_x^2({\xi }_i^{\prime },{\eta }_i^{\prime })+z_y^2({\xi }_i^{\prime },{\eta }_i^{\prime })}(\Delta {\sigma }_i{)}_{xy},$$

  曲面的面积公式

• 求和取极限
  $$\begin{array}{rl}\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S& =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i\right)\Delta S_i\\ & =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left[{\xi }_i,{\eta }_i,z\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\right]\sqrt{1+z_x^2\left({\xi }_i^{\prime },{\eta }_i^{\prime }\right)+z_y^2\left({\xi }_i^{\prime },{\eta }_i^{\prime }\right)}{\left(\Delta {\sigma }_i\right)}_{xy}\\ & =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left[{\xi }_i,{\eta }_i,z\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\right]\sqrt{1+z_x^2\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)+z_y^2\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)}{\left(\Delta {\sigma }_i\right)}_{xy}\\ & =\underset{D_{xy}}{\iint }f\left[x,y,z(x,y)\right]\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

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