优先搜索（DFS）实战

目录

一、DFS通用解题思路 

二、逐题拆解 

三、四题对比

四、总结：DFS解决矩阵问题的“万能模板” 

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在算法解题中，矩阵连通性问题是高频考点，而深度优先搜索（DFS）是解决这类问题的核心工具之一。它通过“一条路走到底，不通再回头”的思路，能高效遍历矩阵中相邻的元素，进而完成标记、计数或替换等操作。本文将结合 LeetCode 130.被围绕的区域、695.岛屿的最大面积、200.岛屿数量 和 733.图像渲染 四题，拆解DFS在矩阵问题中的通用解题框架，并对比各题的差异点，帮助大家举一反三。
 

一、DFS通用解题思路
 

矩阵问题的核心是“相邻元素”的处理（通常指上下左右四个方向，特殊情况会包含对角线），DFS的作用就是从一个起始点出发，遍历所有与起始点连通的元素，并执行特定操作（如标记、修改值）。其通用步骤可归纳为：
 
1. 边界判断：遍历矩阵时，先检查当前元素是否越界（行号<0或>=矩阵行数，列号<0或>=矩阵列

数），若越界则直接返回，避免程序报错。
 

2. 条件筛选：判断当前元素是否符合“可遍历”条件（如是否为目标值、是否已被标记），若不符合

则返回，减少无效遍历。
 

3. 执行操作：对符合条件的当前元素执行操作（如标记为已访问、修改数值），防止后续重复遍

历。
 

4. 递归遍历：分别向当前元素的上、下、左、右四个方向递归调用DFS，继续遍历连通元素。
 
这四题均围绕该框架展开，差异仅在于“条件筛选”和“执行操作”的具体内容，接下来我们逐题分析。
 

二、逐题拆解
 

1. LeetCode 130.被围绕的区域——“边界连通元素的保护”
 
题目核心需求
 
给定一个  m x n  的矩阵，将所有被  'X'  围绕的  'O'  替换为  'X' ，与矩阵边界直接或间接连通的  'O'  需保留。
 
解题关键
 
被围绕的  'O'  的本质是“不与边界连通”，因此我们可以先标记出所有与边界连通的  'O' ，再将未被标记的  'O'  替换为  'X' ，最后还原被标记的  'O' 。
 
DFS实现步骤
 
1. 边界遍历：先遍历矩阵的四条边界（第一行、最后一行、第一列、最后一列），若遇到  'O' ，则以该元素为起点执行DFS。
2. DFS标记：在DFS中，将与边界连通的  'O'  标记为临时符号（如  '*' ），避免后续被误替换。
3. 矩阵更新：遍历整个矩阵，将剩余的  'O' （未与边界连通，即被围绕的）替换为  'X' ，将  '*'  还原为  'O' 。
 
关键代码片段

// DFS：标记与边界连通的'O'为'*'
void dfs(int x, int y, vector<vector<char>>& board) {// 1.边界判断 + 2.条件筛选（非'O'则返回）if (x < 0 || x >= board.size() || y < 0 || y >= board[0].size() || board[x][y] != 'O') {return;}// 3.执行操作：标记为'*'board[x][y] = '*';// 4.递归遍历四个方向dfs(x + 1, y, board);dfs(x - 1, y, board);dfs(x, y + 1, board);dfs(x, y - 1, board);
}void solve(vector<vector<char>>& board) {if (board.empty()) return;int m = board.size(), n = board[0].size();// 遍历边界，标记连通的'O'for (int i = 0; i < n; i++) {if (board[0][i] == 'O') dfs(0, i, board);       // 第一行if (board[m-1][i] == 'O') dfs(m-1, i, board);   // 最后一行}for (int i = 0; i < m; i++) {if (board[i][0] == 'O') dfs(i, 0, board);       // 第一列if (board[i][n-1] == 'O') dfs(i, n-1, board);   // 最后一列}// 更新矩阵for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (board[i][j] == 'O') board[i][j] = 'X';  // 未标记的'O'替换为'X'if (board[i][j] == '*') board[i][j] = 'O';  // 标记的'*'还原为'O'}}
}

2. LeetCode 200.岛屿数量——“连通区域的计数”
 
题目核心需求
 
给定一个  m x n  的二进制矩阵， '1'  代表陆地， '0'  代表水域，计算矩阵中岛屿的数量（岛屿是由相邻的  '1'  组成的连通区域，相邻指上下左右）。
 
解题关键
 
每遇到一个未被访问的  '1' ，就通过DFS遍历其所有连通的  '1'  并标记为已访问，每完成一次这样的DFS，岛屿数量加1。
 
DFS实现步骤
 
1. 矩阵遍历：遍历矩阵中的每个元素，若遇到  '1'  且未被标记，则岛屿数量加1，并执行DFS。
2. DFS标记：在DFS中，将当前的  '1'  标记为  '0' （或其他符号），表示已访问，避免重复计数。
3. 递归遍历：向四个方向递归，将连通的  '1'  全部标记为  '0' 。
 
关键代码片段
 
 

void dfs(int x, int y, vector<vector<char>>& grid) {// 1.边界判断 + 2.条件筛选（非'1'则返回）if (x < 0 || x >= grid.size() || y < 0 || y >= grid[0].size() || grid[x][y] != '1') {return;}// 3.执行操作：标记为'0'（已访问）grid[x][y] = '0';// 4.递归遍历四个方向dfs(x + 1, y, grid);dfs(x - 1, y, grid);dfs(x, y + 1, grid);dfs(x, y - 1, grid);
}int numIslands(vector<vector<char>>& grid) {if (grid.empty()) return 0;int m = grid.size(), n = grid[0].size();int count = 0;for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (grid[i][j] == '1') {  // 遇到未访问的陆地count++;dfs(i, j, grid);      // 标记整个岛屿}}}return count;
}

3. LeetCode 695.岛屿的最大面积——“连通区域的最大尺寸”
 
题目核心需求
 
给定一个  m x n  的二进制矩阵， 1  代表陆地， 0  代表水域，计算矩阵中最大岛屿的面积（岛屿面积为连通的  1  的个数）。
 
解题关键
 
与“岛屿数量”类似，但DFS需额外统计每个岛屿的面积（即连通的  1  的个数），并实时更新最大值。
 
DFS实现步骤
 
1. 矩阵遍历：遍历每个元素，若遇到  1  且未被标记，执行DFS并计算该岛屿的面积。
2. DFS计数：在DFS中，将当前  1  标记为  0 （已访问），并返回“1 + 四个方向连通区域的面积之和”，即当前岛屿的总面积。
3. 更新最大值：每次计算出一个岛屿的面积后，与当前最大值比较，保留较大值。
 
关键代码片段

int dfs(int x, int y, vector<vector<int>>& grid) {// 1.边界判断 + 2.条件筛选（非1则返回0，无面积）if (x < 0 || x >= grid.size() || y < 0 || y >= grid[0].size() || grid[x][y] != 1) {return 0;}// 3.执行操作：标记为0（已访问）grid[x][y] = 0;// 4.递归遍历四个方向，累加面积return 1 + dfs(x+1, y, grid) + dfs(x-1, y, grid) + dfs(x, y+1, grid) + dfs(x, y-1, grid);
}int maxAreaOfIsland(vector<vector<int>>& grid) {if (grid.empty()) return 0;int m = grid.size(), n = grid[0].size();int maxArea = 0;for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (grid[i][j] == 1) {int area = dfs(i, j, grid);  // 计算当前岛屿面积maxArea = max(maxArea, area); // 更新最大值}}}return maxArea;
}

4. LeetCode 733.图像渲染——“指定区域的颜色替换”
 
题目核心需求
 
给定一个  m x n  的图像（由整数表示颜色），以及一个起始坐标  (sr, sc)  和新颜色  newColor ，将起始坐标所在的“连通区域”（颜色与起始坐标原颜色相同，相邻指上下左右）全部替换为新颜色。
 
解题关键
 
若起始坐标的原颜色与新颜色相同，直接返回图像（避免无限递归）；否则通过DFS遍历所有连通的原颜色像素，替换为新颜色。
 
DFS实现步骤
 
1. 初始判断：记录起始坐标的原颜色  oldColor ，若  oldColor == newColor ，直接返回图像。
2. DFS替换：在DFS中，将当前像素的颜色替换为  newColor ，并向四个方向递归，仅替换颜色为  oldColor  的像素。
 
关键代码片段

void dfs(int x, int y, int oldColor, int newColor, vector<vector<int>>& image) {// 1.边界判断 + 2.条件筛选（非oldColor则返回）if (x < 0 || x >= image.size() || y < 0 || y >= image[0].size() || image[x][y] != oldColor) {return;}// 3.执行操作：替换为新颜色image[x][y] = newColor;// 4.递归遍历四个方向dfs(x+1, y, oldColor, newColor, image);dfs(x-1, y, oldColor, newColor, image);dfs(x, y+1, oldColor, newColor, image);dfs(x, y-1, oldColor, newColor, image);
}vector<vector<int>> floodFill(vector<vector<int>>& image, int sr, int sc, int newColor) {int oldColor = image[sr][sc];if (oldColor == newColor) return image; // 避免无限递归dfs(sr, sc, oldColor, newColor, image);return image;
}

三、四题对比

题目	核心操作	条件筛选（DFS终止条件）	特殊处理
130.被围绕的区域	标记边界连通的'O'	非'O'或越界	需还原标记（*→O）、替换未标记（O→X）
200.岛屿数量	标记陆地并计数	非'1'或越界	每启动一次DFS，岛屿数+1
695.最大岛屿面积	标记陆地并计算面积	非1或越界	DFS返回面积，实时更新最大值
733.图像渲染	替换连通区域的颜色	非原颜色或越界，原颜色==新颜色直接返回	直接替换为新颜色，无需还原

 

四、总结：DFS解决矩阵问题的“万能模板”
 

通过以上四题的分析，我们可以提炼出一个“矩阵DFS万能模板”，只需根据题目需求修改 条件筛选 和 执行操作 即可：

// 通用DFS函数：x,y为当前坐标，其他参数根据题目需求补充（如矩阵、目标值、新值等）
void dfs(int x, int y, 额外参数) {// 1. 边界判断if (x < 0 || x >= 矩阵行数 || y < 0 || y >= 矩阵列数) {return;}// 2. 条件筛选（是否为目标元素、是否已访问等）if (矩阵[x][y] 不满足条件) {return;}// 3. 执行操作（标记、修改值、计数等）对矩阵[x][y]执行具体操作;// 4. 递归遍历四个方向dfs(x + 1, y, 额外参数);dfs(x - 1, y, 额外参数);dfs(x, y + 1, 额外参数);dfs(x, y - 1, 额外参数);
}// 主函数：遍历矩阵，触发DFS
void mainFunction(矩阵类型& 矩阵, 其他参数) {if (矩阵为空) return;int 矩阵行数 = 矩阵.size(), 矩阵列数 = 矩阵[0].size();for (int i = 0; i < 矩阵行数; i++) {for (int j = 0; j < 矩阵列数; j++) {if (触发DFS的条件) { // 如遇到未访问的目标元素dfs(i, j, 额外参数);}}}// 若需后续处理（如还原标记、返回结果），在此处执行
}

矩阵连通性问题的本质是“找到并处理符合条件的连通区域”，DFS通过递归高效实现了这一过程。掌握上述模板后，无论题目要求是标记、计数还是替换，都能快速适配，真正做到“一题通，题题通”。