当前位置：首页 > news >正文

接雨水问题解析：双指针与单调栈解法

news 2025/9/8 23:51:14

接雨水问题解析：双指针与单调栈解法

问题描述

给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按此排列的柱子下雨之后能接多少雨水。这个问题可以形象地理解为：在由一系列柱子组成的"地形"上方下雨，雨水会积存在柱子之间的凹陷处，我们需要计算这些凹陷处总共能存储多少雨水。

示例

示例 1：

高度图：[0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]
图形表示：■■    ■ ■■ ■ ■■■ ■ ■ ■ ■
0 1 0 2 1 0 1 3 2 1 2 1

输出：6
解释：可以接 6 个单位的雨水（■表示柱子，~表示雨水）：
■
■~~~~■ ■
■ ■~■■■ ■ ■ ■ ■

示例 2：

高度图：[4,2,0,3,2,5]
图形表示：
■
■     ■
■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■
4 2 0 3 2 5

输出：9
解释：可以接 9 个单位的雨水：
■
■~~~~~■
■ ■~■ ■
■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■

解法一：双指针法（最优解）

思路分析

双指针法是一种高效且空间复杂度低的解决方案。其核心思想是：

使用左右两个指针分别从数组两端向中间移动，类似于快速排序的分区操作
维护左右两边的最大值（lmax和rmax），这两个值决定了当前可以接多少雨水
根据左右最大值中的较小值来决定计算哪一侧的雨水，因为水位高度由较低的一侧决定

算法步骤详解

初始化左右指针 l = 0 和 r = height.size() - 1
初始化左右最大值 lmax = 0 和 rmax = 0
当 l < r 时循环：
- 更新左右最大值：
  - lmax = max(lmax, height[l])（记录从左到目前位置的最大高度）
  - rmax = max(rmax, height[r])（记录从右到目前位置的最大高度）
- 比较当前左右指针处的高度：
  - 如果 height[l] < height[r]：
    - 计算左指针处的雨水量：lmax - height[l]（因为右边有更高的柱子）
    - 将结果累加到总雨水数中
    - 左指针右移（l++）
  - 否则：
    - 计算右指针处的雨水量：rmax - height[r]（因为左边有更高的柱子）
    - 将结果累加到总雨水数中
    - 右指针左移（r--）
返回累计的雨水量

代码实现

class Solution {
public:int trap(vector<int>& height) {if(height.empty()) return 0;  // 边界条件处理int l = 0, r = height.size() - 1;int ans = 0;int lmax = height[l];  // 初始化为第一个元素int rmax = height[r];  // 初始化为最后一个元素while(l < r) {// 更新左右最大值lmax = max(lmax, height[l]);rmax = max(rmax, height[r]);// 决定移动哪一侧指针if(height[l] < height[r]) {ans += lmax - height[l];  // 计算当前列的雨水量++l;} else {ans += rmax - height[r];  // 计算当前列的雨水量--r;}}return ans;}
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，只需遍历一次数组
空间复杂度：O(1)，只使用了常数个额外变量（l, r, ans, lmax, rmax）

实际应用场景

这种解法非常适合处理大规模数据，比如：

城市建筑群的雨水收集系统设计
地形分析中的积水区域计算
游戏开发中的物理引擎水位模拟

解法二：单调栈法

思路分析

单调栈法通过维护一个单调递减的栈来计算雨水：

遍历高度数组
维护一个单调递减栈（存储索引），栈底到栈顶高度递减
当当前高度大于栈顶高度时，说明可能形成"凹槽"可以接住雨水
计算凹槽的宽度和高度，进而计算雨水量并累加

详细步骤

初始化一个空栈和结果变量ans=0
遍历高度数组（i从0到n-1）：
- 当栈不为空且当前高度height[i] > 栈顶高度height[st.top()]：
  - 弹出栈顶元素作为凹槽底部（top = st.top()）
  - 如果栈为空，说明没有左边界，无法形成凹槽，跳出循环
  - 计算凹槽宽度：当前索引i - 新栈顶索引l - 1
  - 计算凹槽高度：min(height[l], height[i]) - height[top]
  - 将宽度×高度加到ans中
- 将当前索引i压入栈中
返回累计的雨水量ans

代码实现

class Solution {
public:int trap(vector<int>& height) {int ans = 0;stack<int> st;  // 存储柱子的索引int n = height.size();for(int i = 0; i < n; i++) {// 当当前柱子高于栈顶柱子时，可能存在凹槽while(!st.empty() && height[i] > height[st.top()]) {int top = st.top();  // 凹槽底部位置st.pop();  // 弹出栈顶if(st.empty()) break;  // 没有左边界int l = st.top();  // 左边界位置int curwidth = i - l - 1;  // 凹槽宽度int curheight = min(height[l], height[i]) - height[top];  // 凹槽高度ans += curwidth * curheight;  // 计算当前凹槽的雨水量}st.push(i);  // 将当前柱子压入栈中}return ans;}
};