力扣hot100:旋转图像（48）（详细图解以及核心思路剖析）

在解决力扣第48题“旋转图像”时，题目要求将一个 n × n 的矩阵原地顺时针旋转90度（即不使用额外空间）。我采用的是一种直接通过交换四个位置元素的方法来实现旋转。这种方法高效且直观，下面详细解释我的思路和代码。

问题分析

给定一个 n × n 的二维矩阵，我们需要将其顺时针旋转90度。旋转后的矩阵需要满足：

• 矩阵元素的位置变化规律：原始位置 (i, j) 的元素会移动到 (j, n-1-i)。
• 必须在原矩阵上修改，空间复杂度为 O(1)。

核心思想：

核心思路：四个元素一组循环交换

观察旋转的规律，我们可以发现矩阵中的四个元素会构成一个循环：

1. 原始位置 (i, j) 移动到 (j, n-1-i)
2. 位置 (j, n-1-i) 移动到 (n-1-i, n-1-j)
3. 位置 (n-1-i, n-1-j) 移动到 (n-1-j, i)
4. 位置 (n-1-j, i) 移动到 (i, j)

这个过程形成了一个闭环，我们可以用一个临时变量 temp 来辅助这四个位置的元素交换：

temp = matrix[i][j];
matrix[i][j] = matrix[n-1-j][i];
matrix[n-1-j][i] = matrix[n-1-i][n-1-j];
matrix[n-1-i][n-1-j] = matrix[j][n-1-i];
matrix[j][n-1-i] = temp;

遍历范围的设计

如果直接遍历整个矩阵，每个元素会被交换两次（导致恢复原状）。我们需要确保每个元素只被交换一次。解决方案是只遍历矩阵的左上角区域：

• 行索引 i：从 0 到 n/2（不包括 n/2）。
• 列索引 j：从 0 到 (n+1)/2（不包括 (n+1)/2）。

为什么列的范围是 (n+1)/2？

• 当 n 是偶数时，遍历左上角的四分之一区域：
  • i 的范围：[0, n/2)
  • j 的范围：[0, n/2)
• 当 n 是奇数时，中心元素无需旋转，但中心列的上半部分需要处理：
  • 列的范围扩展到 (n+1)/2，确保覆盖中心列左侧的所有列（见下图）。

示例：n=3（奇数）
需要遍历的位置：(0,0) 和 (0,1)(0,0) -> (2,0) -> (2,2) -> (0,2)(0,1) -> (1,0) -> (2,1) -> (1,2)
中心点 (1,1) 保持不变。

代码实现

class Solution {public void rotate(int[][] matrix) {int n = matrix.length; // 矩阵尺寸 n x n// 遍历左上角区域for (int i = 0; i < n / 2; i++) {for (int j = 0; j < (n + 1) / 2; j++) {// 保存左上角元素int temp = matrix[i][j];// 左下角元素 -> 左上角matrix[i][j] = matrix[n - 1 - j][i];// 右下角元素 -> 左下角matrix[n - 1 - j][i] = matrix[n - 1 - i][n - 1 - j];// 右上角元素 -> 右下角matrix[n - 1 - i][n - 1 - j] = matrix[j][n - 1 - i];// 临时变量（原左上角）-> 右上角matrix[j][n - 1 - i] = temp;}}}
}

示例解析

以 3x3 矩阵为例：

初始矩阵：
[1, 2, 3]
[4, 5, 6]
[7, 8, 9]

第一步：旋转 (0,0) 所在的组：

• (0,0) → (2,0) → (2,2) → (0,2) → (0,0)
• 交换后：

  [7, 2, 1][4, 5, 6][9, 8, 3]

第二步：旋转 (0,1) 所在的组：

• (0,1) → (1,0) → (2,1) → (1,2) → (0,1)
• 交换后：

  [7, 4, 1][8, 5, 2][9, 6, 3]

最终得到顺时针旋转90度的结果。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n²)，每个元素被访问一次。
• 空间复杂度：O(1)，仅使用常数级额外空间。

总结

通过将矩阵分为四个位置的循环组，并巧妙设计遍历范围（左上角区域），我们在原地完成了矩阵旋转。这种方法避免了额外的空间开销，且逻辑清晰高效。理解位置映射关系 (i, j) → (j, n-1-i) 是解决本题的关键。