【3D 入门-6】大白话解释 SDF(Signed Distance Field) 和 Marching Cube 算法

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• 先有 SDF 描述形状内外（上图右侧白色到黑色的坐标），再由 Marching Cube （上图中的红色多面体是由一个个 cube 组成的）生成网格
• 图片来源：https://www.youtube.com/watch?v=M3iI2l0ltbE

一、什么是SDF？（Signed Distance Field，有向距离场）

1. 基础概念
SDF是一种描述空间中每个点与某个形状距离的数学工具。简单来说：

• 对于空间中的任意一点，SDF会计算它到某个物体表面的最短距离，并且用“正负号”表示点在物体的内部还是外部：
  • 如果点在物体外部，距离为正数；
  • 如果点在物体内部，距离为负数；
  • 如果点正好在物体表面上，距离为0。

举个例子：
比如一个半径为1的球体，球心在原点（0,0,0）。对于空间中的点P(x,y,z)，它的SDF值就是：
$SDF(P)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}-1$

• 当P在球外时（比如(2,0,0)），距离是2-1=1（正数）；
• 当P在球内时（比如(0.5,0,0)），距离是0.5-1=-0.5（负数）；
• 当P在球面上时（比如(1,0,0)），距离是0（表面）。

2. 为什么SDF很重要？

• 简洁描述形状：用数学公式就能表示复杂形状，比如球体、立方体甚至更复杂的物体。
• 方便计算：通过SDF可以快速判断点与物体的位置关系，这在3D建模、游戏渲染、物理模拟中很常用。

二、什么是Marching Cube算法？（移动立方体算法）

1. 算法的目标
Marching Cube算法的核心是：将SDF表示的形状，转换为计算机能显示的三角形网格（3D模型的基本组成单元）。

2. 工作原理（类比“切豆腐”）
假设我们有一块“豆腐”（代表3D空间），里面藏着一个用SDF描述的形状。算法的步骤如下：

• 第一步：划分网格
  将3D空间分成许多小立方体（像切豆腐一样切成小方块），每个小立方体的顶点都有一个SDF值（正或负）。

• 第二步：判断表面位置
  对于每个小立方体，观察它的8个顶点的SDF值：

  • 如果顶点的SDF是正数，说明它在形状外部；
  • 如果是负数，说明在形状内部。
    当相邻顶点的SDF值一正一负时，说明形状的表面穿过这两个顶点之间的边，需要计算表面与边的交点。

• 第三步：生成三角形
  根据小立方体中顶点的正负分布，找到所有表面与边的交点，然后将这些交点连接成三角形。这些三角形拼接起来，就形成了形状的表面网格。

举个例子：
如果一个小立方体的4个顶点在形状内部（SDF负），4个在外部（SDF正），那么它的表面可能穿过某些边，算法会计算这些边上的交点，并把交点连成三角形，覆盖形状的表面。

三、两者的关系：SDF + Marching Cube = 3D模型生成

• SDF就像“蓝图”，用数学方式描述形状的内外；
• Marching Cube就像“施工队”，根据蓝图（SDF的正负值）把形状“雕刻”出来，变成计算机能显示的三角形网格。

四、生活中的类比

• SDF：像地图上的等高线，每个点的海拔（正负）表示它在山的内部还是外部。
• Marching Cube：像用积木搭建城堡，根据每个积木块的位置和形状，决定哪些积木需要被用来搭建表面，最终组成城堡的样子。

五、为什么这两个概念很重要？

• SDF在游戏中常用于“碰撞检测”（比如角色是否碰到墙壁），或生成动态形状（如水流、烟雾）；
• Marching Cube是3D建模中生成复杂曲面的经典算法，比如医学图像（CT扫描）重建人体器官，或游戏中生成地形和物体模型。

如果想进一步理解，可以想象用无数小方块“包裹”一个苹果，每个方块根据苹果的形状（SDF）决定如何切割表面，最终用三角形拼成苹果的3D模型——这就是Marching Cube在做的事情~