（A题｜烟幕干扰弹的投放策略）2025年高教杯全国大学生数学建模国赛解题思路|完整代码论文集合

我是Tina表姐，毕业于中国人民大学，对数学建模的热爱让我在这一领域深耕多年。我的建模思路已经帮助了百余位学习者和参赛者在数学建模的道路上取得了显著的进步和成就。现在，我将这份宝贵的经验和知识凝练成一份全面的解题思路与代码论文集合，专为本次赛题设计，旨在帮助您深入理解数学建模的每一个环节。
本次2025年高教杯全国大学生数学建模国赛C题可以做如下考虑 (部分公式和代码因为知乎排版问题显示不完整，文中代码仅有部分，完整论文格式标准，包含全部代码)

可视化：

问题 1

利用无人机 FY1 投放 1 枚烟幕干扰弹实施对 M1 的干扰，若 FY1 以 120 m/s 的速度朝向假目标方向飞行，受领任务 1.5 s 后即投放 1 枚烟幕干扰弹，间隔 3.6 s 后起爆。请给出烟幕干扰弹对 M1 的有效遮蔽时长。

这是一个具体的计算问题，需要根据给定的条件：

• 无人机FY1初始位置：(17800, 0, 1800)
• 导弹M1初始位置：(20000, 0, 2000)
• FY1飞行速度：120 m/s，方向朝向假目标(原点)
• 投放时间：受领任务后1.5s
• 起爆延迟：投放后3.6s
• 导弹M1飞行速度：300 m/s，方向指向假目标

来计算烟幕干扰弹对导弹M1的有效遮蔽时长。
我来为问题1建立数学模型并进行计算。

问题1：数学建模与计算

1. 问题分析

需要计算无人机FY1投放的烟幕干扰弹对导弹M1的有效遮蔽时长。

2. 坐标系统和初始条件

• 坐标系：以假目标为原点，水平面为xy平面
• 无人机FY1初始位置：(17800, 0, 1800)
• 导弹M1初始位置：(20000, 0, 2000)
• 真目标位置：(0, 200, 0)
• 假目标位置：(0, 0, 0)

3. 运动建模

3.1 无人机FY1运动

• 飞行速度：120 m/s
• 飞行方向：朝向假目标，即从(17800, 0, 1800)指向(0, 0, 0)
• 方向向量：$\overrightarrow{d_{FY1}}=(0,0,0)-(17800,0,1800)=(-17800,0,-1800)$
• 单位方向向量：$\widehat{d_{FY1}}=\frac{(-17800,0,-1800)}{\sqrt{17800^2+1800^2}}=\frac{(-17800,0,-1800)}{17890.25}$

FY1在时刻t的位置：
$$\overrightarrow{P_{FY1}}(t)=(17800,0,1800)+120t\cdot \widehat{d_{FY1}}$$

3.2 导弹M1运动

• 飞行速度：300 m/s
• 飞行方向：从(20000, 0, 2000)指向假目标(0, 0, 0)
• 方向向量：$\overrightarrow{d_{M1}}=(0,0,0)-(20000,0,2000)=(-20000,0,-2000)$
• 单位方向向量：$\widehat{d_{M1}}=\frac{(-20000,0,-2000)}{\sqrt{20000^2+2000^2}}=\frac{(-20000,0,-2000)}{20099.75}$

M1在时刻t的位置：
$$\overrightarrow{P_{M1}}(t)=(20000,0,2000)+300t\cdot \widehat{d_{M1}}$$

4. 关键时刻计算

import numpy as np
import math# 初始位置
FY1_init = np.array([17800, 0, 1800])
M1_init = np.array([20000, 0, 2000])
target_fake = np.array([0, 0, 0])
target_real = np.array([0, 200, 0])# 方向向量计算
d_FY1 = target_fake - FY1_init
d_M1 = target_fake - M1_init# 单位方向向量
unit_FY1 = d_FY1 / np.linalg.norm(d_FY1)
unit_M1 = d_M1 / np.linalg.norm(d_M1)print(f"FY1单位方向向量: {unit_FY1}")
print(f"M1单位方向向量: {unit_M1}")# 关键时刻
t_drop = 1.5  # 投放时刻
t_explode = t_drop + 3.6  # 起爆时刻# 投放位置
drop_pos =
我来详细分析第一个问题的解决过程。## 问题1分析### 已知条件
- 无人机FY1初始位置：$(17800, 0, 1800)$
- 导弹M1初始位置：$(20000, 0, 2000)$
- 假目标位置：$(0, 0, 0)$
- 真目标位置：$(0, 200, 0)$
- FY1飞行速度：$v_{FY1} = 120$ m/s
- M1飞行速度：$v_{M1} = 300$ m/s
- 投放延迟：$t_1 = 1.5$ s
- 起爆延迟：$t_2 = 3.6$ s
- 烟幕云团下沉速度：$v_{down} = 3$ m/s
- 有效遮蔽范围：半径10m，持续20s### 计算步骤**步骤1：计算FY1的飞行方向**FY1朝向假目标的方向向量：
$$\vec{d_{FY1}} = (0,0,0) - (17800,0,1800) = (-17800,0,-1800)$$单位方向向量：
$$\hat{d_{FY1}} = \frac{(-17800,0,-1800)}{\sqrt{17800^2 + 1800^2}} = \frac{(-17800,0,-1800)}{17890.4} = (-0.995,0,-0.101)$$**步骤2：计算烟幕干扰弹投放位置**FY1在$t_1 = 1.5$s后的位置：
$$P_{drop} = (17800,0,1800) + 120 \times 1.5 \times (-0.995,0,-0.101)$$
$$P_{drop} = (17800,0,1800) + (-179.1,0,-18.18) = (17620.9,0,1781.82)$$**步骤3：计算烟幕干扰弹起爆位置**烟幕干扰弹在重力作用下运动，水平位置保持不变，垂直方向自由落体：
$$h(t) = h_0 - \frac{1}{2}gt^2$$起爆时间为投放后$3.6$s，此时高度：
$$h_{explode} = 1781.82 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3.6^2 = 1781.82 - 63.5 = 1718.32$$起爆位置：$P_{explode} = (17620.9, 0, 1718.32)$**步骤4：计算M1的运动轨迹**M1朝向假目标的方向向量：
$$\vec{d_{M1}} = (0,0,0) - (20000,0,2000) = (-20000,0,-2000)$$单位方向向量：
$$\hat{d_{M1}} = \frac{(-20000,0,-2000)}{\sqrt{20000^2 + 2000^2}} = (-0.995,0,-0.0995)$$M1在时刻$t$的位置：
$$P_{M1}(t) = (20000,0,2000) + 300t \times (-0.995,0,-0.0995)$$
$$P_{M1}(t) = (20000 - 298.5t, 0, 2000 - 29.85t)$$**步骤5：计算烟幕云团的运动**起爆后，烟幕云团以3 m/s速度下沉：
$$P_{smoke
我来分析和解决这个烟幕干扰弹投放策略问题。

首先分析问题1的关键要素：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# 问题1：计算烟幕干扰弹对M1的有效遮蔽时长# 初始条件
fy1_pos = np.array([17800, 0, 1800])  # 无人机FY1初始位置
m1_pos = np.array([20000, 0, 2000])   # 导弹M1初始位置
target_pos = np.array([0, 0, 0])      # 假目标位置（原点）
real_target_pos = np.array([0, 200, 0])  # 真目标位置# 运动参数
fy1_speed = 120  # m/s，FY1飞行速度
m1_speed = 300   # m/s，M1飞行速度
smoke_sink_speed = 3  # m/s，烟幕下沉速度
effective_radius = 10  # m，有效遮蔽半径
effective_duration = 20  # s，有效遮蔽持续时间# 时间参数
deploy_time = 1.5  # s，投放延迟时间
explosion_delay = 3.6  # s，起爆延迟时间def calculate_trajectory(initial_pos, target_pos, speed):"""计算运动轨迹的方向向量和单位向量"""direction = target_pos - initial_posdistance = np.linalg.norm(direction)unit_direction = direction / distancereturn unit_direction, distancedef position_at_time(initial_pos, unit_direction, speed, t):"""计算t时刻的位置"""return initial_pos + unit_direction * speed * t# 计算FY1和M1的运动方向
fy1_direction, _ = calculate_trajectory(fy1_pos, target_pos)
m1_direction, _ = calculate_trajectory(m1_pos, target_pos)print("问题1求解:")
print(f"FY1初始位置: {fy1_pos}")
print(f"M1初始位置: {m1_pos}")
print(f"FY1运动方向单位向量: {fy1_direction}")
print(f"M1运动方向单位向量: {m1_direction}")# 计算关键时间点的位置
# t=0: 任务开始时刻
# t=1.5s: 投放烟幕干扰弹
fy1_deploy_pos = position_at_time(fy1_pos, fy1_direction, fy1_speed, deploy_time)
print(f"\n投放时刻(t={deploy_time}s)FY1位置: {fy1_deploy_pos}")# 烟幕干扰弹投放后按重力运动，假设水平速度保持FY1的水平分量，垂直方向自由落体
# 简化处理：假设烟幕干扰弹投放后保持水平匀速运动，垂直方向自由落体
g = 9.8  # m/s²def smoke_position_at_time(deploy_pos, horizontal_velocity, t_after_deploy):"""计算烟幕干扰弹投放后t时间的位置"""# 水平方向保持匀速horizontal_displacement = horizontal_velocity[:2] * t_after_deploy# 垂直方向自由落体vertical_displacement = horizontal_velocity[2] * t_after_deploy - 0.5 * g * t_after_deploy**t_after_deployreturn deploy_pos + horizontal_displacement + np.array([0, 0, vertical_displacement])# 烟幕干扰弹投放后1s的位置
smoke_pos_after_1s = smoke_position_at_time(fy1_deploy_pos, fy1_direction, 1)
print(f"\n烟幕干扰弹投放后1秒(t={deploy_time+1}s)位置: {smoke_pos_after_1s}")

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