当前位置：首页 > news >正文

数据结构：图（Graph）

news 2025/9/6 3:15:12

图（Graph）的诞生——我们为什么要发明“图”？

定义图（Graph）的核心元素

图的分类——丰富图的表达能力

无向图 (Undirected Graph) vs. 有向图 (Directed Graph)

无权图 (Unweighted Graph) vs. 带权图 (Weighted Graph)

描述图的常用术语

关于顶点的术语：度 (Degree)

关于顶点序列的术语：路径 (Path) 和环 (Cycle)

关于图整体的术语：连通性 (Connectivity)

简单 C/C++ 代码框架的思考

第一步：定义顶点 (Vertex)

第二步：定义边 (Edge)

第三步：组合成图 (Graph)

总结一下今天的内容

图（Graph）的诞生——我们为什么要发明“图”？

在开始学习任何新知识之前，最重要的问题是：“我们为什么需要它？它解决了什么问题？”

想象一下，我们生活中有各种各样的“事物”，这些“事物”之间也存在着千丝万缕的“关系”。

事物: 一个人、一个城市、一个网页、一个路口、一个任务...
关系: 朋友关系、城市间的航线、网页间的链接、路口间的道路、任务间的依赖关系...

我们的大脑很擅长处理这些关系，但计算机不擅长。计算机只擅长处理数字和结构化的数据。

如果我们想让计算机解决类似“从北京到上海的最短路线”或者“在朋友圈里，我和马化腾之间隔了几个人”这样的问题，我们就必须找到一种方法，把这些“事物”和“关系”翻译成计算机能理解的语言。

所有这些问题的本质，都可以抽象为两个核心元素：

点 (Point/Node)：用来代表那些独立的“事物”。
线 (Line/Link)：用来代表事物之间的“关系”。

把“点”和“线”组合在一起，就构成了一个可以描述万物关系的通用模型。这个模型，就是我们今天要讲的 图 (Graph)。

所以，图的本质就是：一种用来描述“多对多”（many-to-many）关系的数据结构。

定义图（Graph）的核心元素

现在我们正式定义图。一个图 G (Graph) 由两个基本集合组成：

顶点集合 V (Vertex Set): 包含了所有“事物”的集合。我们把里面的每一个元素叫做 顶点 (Vertex)。
边集合 E (Edge Set): 包含了所有“关系”的集合。我们把里面的每一个元素叫做 边 (Edge)。

所以，一个图可以表示为 G = (V, E)。

我们来看一个具体的例子。假设我们有四个城市：北京、上海、广州、武汉。

顶点集合 V 就是这四个城市：V = {北京, 上海, 广州, 武汉}。
假设它们之间有航班线路，这些线路就是“关系”。比如：
北京和上海之间有航班
北京和广州之间有航班
上海和广州之间有航班
广州和武汉之间有航班
那么 边集合 E 就是这些航班线路：E = {(北京, 上海), (北京, 广州), (上海, 广州), (广州, 武汉)}。

这里的 (北京, 上海) 就表示一条连接北京和上海的边。

现在，我们把这个定义画出来，你就有了对图的第一个直观印象。

图1️⃣：一个简单的城市交通图

      (北京) --------- (上海)|               /|              /|             /(广州) --------- (武汉)

在这个图里：

圆圈圈起来的城市名就是 顶点 (Vertex)。
连接两个顶点的线段就是 边 (Edge)。

图的分类——丰富图的表达能力

上面的图很简单，但现实世界的关系更复杂。比如：

朋友关系是双向的：我是你的朋友，你也是我的朋友。
关注关系是单向的：我关注了你，但你未必关注我。
城市间的道路有长有短，距离不同。

为了描述这些更复杂的关系，我们需要对图进行分类。

无向图 (Undirected Graph) vs. 有向图 (Directed Graph)

关系的“方向性”是一个核心区别。朋友关系没有方向，而关注关系有方向。

无向图 (Undirected Graph)

定义：图中的边没有方向。边 (u, v) 和边 (v, u) 表示的是同一条边。
适用场景：描述相互、对等的关系。例如：朋友关系、城市间的双向铁路。
图示：我们上面画的图1 就是一个典型的无向图。连接北京和上海的线，你既可以看作从北京到上海，也可以看作从上海到北京。

有向图 (Directed Graph / Digraph)

定义：图中的边有明确的方向。从顶点 u 指向顶点 v 的边，我们称之为一条 弧 (Arc)，记作 <u, v>。这里 u 称为 弧尾 (Tail)，v 称为 弧头 (Head)。<u, v> 和 <v, u> 是两条完全不同的弧。
适用场景：描述单向的关系。例如：社交网络中的“关注”、网页间的超链接、任务的依赖（必须先完成A才能做B）。

图2️⃣：一个简单的社交关注图

假设：A关注了B，B关注了C，C关注了D，D关注了A。

V = {A, B, C, D}
E = {<A, B>, <B, C>, <C, D>, <D, A>}

画出来就是这个样子：

      (A) --------> (B)^             ||             ||             v(D) <-------- (C)

注意图中的箭头，它明确地指出了关系的方向。

无权图 (Unweighted Graph) vs. 带权图 (Weighted Graph)

关系的“强度”或“成本”是另一个核心区别。

我和你是朋友，这是关系的有无。但我们之间可能关系很好（亲密度90），也可能只是点赞之交（亲密度10）。

从北京到上海的航班，有的要2小时，有的要3小时，这个“时长”或“票价”就是关系的属性。

无权图 (Unweighted Graph)

定义：所有的边都被认为是等价的，没有量的差别。我们只关心顶点之间“是否”相连，不关心连接的“代价”是什么。
图示：上面讲的图1 和图2 都是无权图。

带权图 (Weighted Graph / Network)

定义：图中的每一条边都被赋予一个数值，这个数值被称为 权重 (Weight)。这个权重可以代表各种意义，如距离、时间、成本、容量等。
适用场景：需要考虑成本或度量的问题。例如：地图导航（距离或时间）、网络路由（带宽或延迟）。

图3️⃣：带权重的城市交通图 (单位: 公里)

我们把图1 加上城市间的距离，它就变成了一个带权图。

          1213(北京) --------- (上海)|               /|              / 14632123 |             /|            /(广州) --------- (武汉)1067

这里的数字 1213, 1463 等就是对应边的 权重 (Weight)。

描述图的常用术语

为了方便地讨论和研究图，我们需要学习一些“行话”。这些术语都是基于上面最基本的定义演化而来的。

关于顶点的术语：度 (Degree)

一个顶点有多重要？一个直观的衡量标准就是看有多少条边和它相连。这个“相连边的数量”就是“度”。

在无向图中:

顶点的 度 (Degree) 就是指和该顶点相关联的边的数量。

在图1 中:

Degree(北京) = 2
Degree(上海) = 2
Degree(广州) = 3
Degree(武汉) = 1

在有向图中:

因为边有方向，所以度的概念也需要细分。

入度 (In-degree): 指向该顶点的弧的数量（有多少箭头指向我）。
出度 (Out-degree): 从该顶点出发的弧的数量（我发出了多少箭头）。
度 (Degree) = 入度 + 出度。

在图2 中:

In-degree(A) = 1, Out-degree(A) = 1, Degree(A) = 2
In-degree(B) = 1, Out-degree(B) = 1, Degree(B) = 2
... 以此类推，所有顶点的入度和出度都是1。

对于任何图，所有顶点的度数之和，等于边总数的两倍。

因为每一条边（无论有向还是无向）都有两个端点。当我们计算所有顶点的度数之和时，每一条边都会被它的两个端点各自计算一次。

所以，边的总数 |E| 和度数总和的关系是：Σ(Degree(v)) = 2 * |E|。不信你可以用上面的图1验证一下：(2+2+3+1) = 8，而边总数是4，正好是2倍。

关于顶点序列的术语：路径 (Path) 和环 (Cycle)

我们研究图，很多时候是为了解决“从A点能不能到B点？”以及“怎么走？”的问题。这就引出了“路径”的概念。

路径 (Path): 从顶点 u 到顶点 v 的一条路径，指的是一个顶点序列 u, v1, v2, ..., v，其中序列中任意相邻的两个顶点之间都存在一条边。

路径长度 (Path Length): 路径上边的数量（对于无权图）或权重之和（对于带权图）。

在图1 中，从“北京”到“武汉”的一条路径是：北京 -> 广州 -> 武汉。这条路径的长度是 2 (经过了2条边)。

环 (Cycle / Circuit): 如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，那么这条路径就构成一个环。

在图1 中，北京 -> 上海 -> 广州 -> 北京 就是一个环。
在图2 中，A -> B -> C -> D -> A 也是一个环。

关于图整体的术语：连通性 (Connectivity)

一个图是“一个整体”还是“几块分离的碎片”？这是描述图的整体结构的重要属性。

连通图 (Connected Graph): 这是针对 无向图 说的。如果一个无向图中，任意两个顶点之间都存在至少一条路径，那么这个图就是连通图。我们上面画的图1 和图3 都是连通图。
连通分量 (Connected Component): 如果一个无向图不是连通的，那么它可以被分成若干个独立的、内部连通的子图，每一个这样的子图就是一个连通分量。
强连通图 (Strongly Connected Graph): 这是针对有向图说的。如果一个有向图中，任意两个顶点 u 和 v，都既存在从 u到v 的路径，也存在从 v到u 的路径，那么这个图就是强连通图。我们上面画的图2 就是一个强连通图。

图4️⃣：一个非连通图，它有两个连通分量

  (A) --- (B)           (E) --- (F)|       |             ||       |             |(C) --- (D)           (G)

在这个图中，你无法从顶点A找到一条路径到达顶点E。{A, B, C, D} 和 {E, F, G} 分别是这个图的两个连-通分量。

简单 C/C++ 代码框架的思考

虽然我们还不涉及图的具体存储方式，但我们可以从概念出发，思考一下如果用C/C++来描述一个“顶点”和一个“边”，它大概会是什么样子。这是一个从概念到代码的初步映射。

第一步：定义顶点 (Vertex)

一个顶点最核心的信息可能就是它的编号或者名字。我们还可以给它附加一些数据。

// 为了简单，我们先用一个整数ID来唯一标识一个顶点
// 假设我们有一个顶点，它里面可以存储一些数据，比如城市的名称
struct Vertex {int id;          // 顶点的唯一标识char* data;    // 指向顶点存储的数据，比如 "北京"// ... 未来可能还会有其他信息
};

第二步：定义边 (Edge)

一条边最核心的信息是它连接了哪两个顶点。如果是带权图，还需要一个权重。

// 定义一条无向、带权的边
struct Edge {int from_vertex_id;   // 边的起点IDint to_vertex_id;     // 边的终点IDint weight;           // 边的权重// ... 未来可能还会有其他信息
};

注意: 在无向图中，from 和 to 是可以互换的。在有向图中，方向是固定的。

第三步：组合成图 (Graph)

一个图就是一堆顶点和一堆边的集合。

// 一个最最基础的图的结构框架
#define MAX_VERTICES 100 // 假设最多有100个顶点
#define MAX_EDGES 1000   // 假设最多有1000条边struct Graph {Vertex vertices[MAX_VERTICES]; // 顶点数组Edge edges[MAX_EDGES];         // 边数组int num_vertices; // 当前图中顶点的数量int num_edges;    // 当前图中边的数量
};

这个代码框架非常初级，甚至可以说是简陋的，而且在实际使用中效率不高。但它很好地反映了我们前面学到的图的定义：G = (V, E)。一个 Graph 结构体，里面包含了一个顶点数组 V 和一个边数组 E。

我们今天先不深入这个代码，因为如何高效地表示和存储这些顶点和边，就是下一章 "图的表示 (Representation of Graphs)" 要解决的核心问题（例如邻接矩阵和邻接表）。

总结一下今天的内容

图是什么？ 图是用来描述“事物”（顶点）和“关系”（边）的数学模型，本质是多对多关系。
图的核心元素：顶点 (Vertex) 和边 (Edge)。
图的重要分类：
- 按方向：无向图 (关系对等) vs. 有向图 (关系单向)。
- 按权重：无权图 (关系等价) vs. 带权图 (关系有代价/强度)。
图的关键术语：
- 度 (Degree)：衡量一个顶点的连接程度（有向图分入度和出度）。
- 路径 (Path)：连接两个顶点的顶点序列。
- 环 (Cycle)：起点和终点相同的路径。
- 连通性 (Connectivity)：衡量图的整体结构是否为一个整体。