【高等数学】第十章 重积分——第五节 含参变量的积分

上一节：【高等数学】第十章 重积分——第四节 重积分的应用
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• 含参变量的积分
  设$f(x,y)$是矩形闭区域$R=[a,b]\times [c,d]$上的连续函数。
  在$[a,b]$上任意取定一个$x$的值，$f(x,y)$是变量$y$在$[c,d]$上的一个一元连续函数，从而积分${\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$存在，这个积分的值依赖于取定的$x$值，当$x$的值改变时，一般说来这个积分的值也跟着改变。
  这个积分确定一个定义在$[a,b]$上的$x$的函数，把它记作$\phi (x)$，即$$\phi (x)={\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y(a⩽x⩽b)$$这里变量$x$在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量，因此右端是一个含参变量$x$的积分，这积分确定$x$的一个函数$\phi (x)$.
• 连续性
  如果函数$f(x,y)$在矩形$R=[a,b]\times [c,d]$上连续，
  那么由积分${\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$确定的函数$\phi (x)$在$[a,b]$上连续。

  $f(x,y)$在闭区域$R$连续，从而一致连续，即连续与参考点的选取无关
  当$|\Delta x|<\delta$时，$|f(x+\Delta x,y)-f(x,y)|<\epsilon$
  $|\phi (x+\Delta x)-\phi (x)|=|{\int }_c^d[f(x+\Delta x,y)-f(x,y)]\mathrm{d}y|<\epsilon (d-c)$

• 可交换的二次积分
  如果函数$f(x,y)$在矩形$R=[a,b]\times [c,d]$上连续，
  那么$${\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x.$$
• 含参变量积分的导数
  如果函数$f(x,y)$及其偏导数$f_x(x,y)$都在矩形$R=[a,b]\times [c,d]$上连续，
  那么由积分${\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$确定的函数$\phi (x)$在$[a,b]$上可微，并且$${\phi }^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_c^d{f}_x(x,y)\mathrm{d}y.$$

  ${\phi }^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\phi (x+\Delta x)-\phi (x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }{\int }_c^d\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\mathrm{d}y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }{\int }_c^d\frac{f_x(x,y)\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x}\mathrm{d}y={\int }_c^d{f}_x(x,y)\mathrm{d}y$

• 积分限中也含参的含参变量的积分的连续性
  如果函数$f(x,y)$在矩形$R=[a,b]\times [c,d]$上连续，函数$\alpha (x)$与$\beta (x)$在区间$[a,b]$上连续，且$$c⩽\alpha (x)⩽d，c⩽\beta (x)⩽d（a⩽x⩽b）$$那么由积分${\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\mathrm{d}y$确定的函数$\Phi (x)$在$[a,b]$上也连续。

  $\Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)={\int }_{\alpha (x+\Delta x)}^{\alpha (x)}f(x+\Delta x,y)\mathrm{d}y+{\int }_{\beta (x)}^{\beta (x+\Delta x)}f(x+\Delta x,y)\mathrm{d}y+{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}[f(x+\Delta x,y)-f(x,y)]\mathrm{d}y$
  当 $\Delta x\to 0$ 时，$$\Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)\to 0(a⩽x⩽b)$$

• 积分限中也含参的含参变量的积分的导数
  如果函数 $f(x,y)$ 及其偏导数 $f_y(x,y)$ 都在矩形 $R=[a,b]\times [c,d]$ 上连续，函数 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 都在区间 $[a,b]$ 上可微，且
  $$c⩽\alpha (x)⩽d,c⩽\beta (x)⩽d(a⩽x⩽b),$$那么由积分${\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\mathrm{d}y$确定的函数 $\Phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上可微，且有莱布尼茨公式
  $$\begin{array}{rl}{\Phi }^{\prime }(x)& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}{f}_y(x,y)\mathrm{d}y+f[x,\beta (x)]{\beta }^{\prime }(x)-f[x,\alpha (x)]{\alpha }^{\prime }(x)\end{array}$$

  $$\begin{array}{rl}\frac{\Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)}{\Delta x}=& {\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\mathrm{d}y+\\ & \frac{1}{\Delta x}{\int }_{\beta (x)}^{\beta (x+\Delta x)}f(x+\Delta x,y)\mathrm{d}y-\frac{1}{\Delta x}{\int }_{\alpha (x)}^{\alpha (x+\Delta x)}f(x+\Delta x,y)\mathrm{d}y\end{array}$$
  右端后面两项需要利用积分中值定理，即
  $\frac{1}{\Delta x}{\int }_{\beta (x)}^{\beta (x+\Delta x)}f(x+\Delta x,y)\mathrm{d}y={\beta }^{\prime }(x)f[x,\beta (x)]$

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