9.【线性代数】—— 线性相关性， 向量空间的基，维数

Ax=0 什么情况下无解(x不为零向量)

Ax=0无解，当且仅当，A矩阵通过消元后，转化为单位矩阵，没有自由变量。

$A的矩阵大小为m\ast n，当m<n,可以转换为R矩阵，Ax=0有解，因为存在自由变量。秩最多为m，自由变量为n-m$

1. 向量组的线性无关性

记: $有一组向量，x_1,x_2,x_3...x_n，当不存在c_{1}x1+c_2{x}_2+...+c_n{x}_n\ne 0时，则称x_1,x_2,x_3...x_n是线性无关的。$

$如果v_1,v_2...v_n是矩阵A的列向量，如果向量组线性无关，那么Ax=0无解，A的秩为n。$

2.向量组生成一个空间(S)

等价于$空间包含向量组的线性组合$

3. 向量空间的一组基：都满足向量个数相同

那么$向量组有两个性质，1.线性无关2.生成一整个空间$

$R^3$的一组基
$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

当$A_{n\ast n}$可逆 $\Rightarrow$ 满秩 $\Rightarrow$ n个向量是$R^n$的基

4. 空间维数 = 基向量的个数

例子
$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 3& 1\end{array}\right]$$
A的基为
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$$
$N(A)=c\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$,求法详见7.【线性代数】——求解Ax=0，主列和自由列

$rank(A)=主列数=空间的维数C(A)=r$
$dim(N(A))=自由列的列数=n-r$