数据结构：堆（Heap）
目录
从根源问题出发
设计新的结构 - 逻辑形态
优化结构 - 物理形态
堆的存储 - 从“树”到“数组”
逐步实现代码（C/C++）
从根源问题出发
我们先忘掉“堆”这个名字，思考一个非常常见的需求：
“我有一堆动态的数据，我需要频繁地、快速地找到这堆数据里的最大值（或者最小值）。”
为了解决这个问题，我们回顾一下已经学过的数据结构，看看它们表现如何：
用普通数组（无序）
-
优点：插入新数据很快，直接在末尾添加就行，时间复杂度是 O(1)。
-
缺点：找最大值太慢。你必须从头到尾遍历一遍，时间复杂度是 O(n)。如果数据量很大，每次都遍历是不可接受的。
用有序数组
-
优点：找最大值超快。它就在数组的头部或尾部，时间复杂度是 O(1)。
-
缺点：插入新数据太慢。为了维持数组的有序性，你得先找到新元素该放的位置，然后把后面的元素都移动一遍。平均时间复杂度是 O(n)。
| 数据结构 | 查找最大值 | 插入新元素 |
|---|---|---|
| 无序数组 | O(n) (慢) | O(1) (快) |
| 有序数组 | O(1) (快) | O(n) (慢) |
你看，这两种基本结构都有明显的短板，它们没法同时“比较快”地完成查找最大值和插入元素这两个操作。我们需要一种新的、更平衡的数据结构。这个需求，就是“堆”诞生的根本原因。
设计新的结构 - 逻辑形态
既然数组这种线性结构不行，我们自然会想到你刚学过的“树”结构。树的结构比数组复杂，也许能提供更优的解决方案。
我们来尝试设计一棵“树”，让它天生就适合找最大值。一个最直观的想法是什么？
“让最大值一眼就能看到，比如，就放在树根（root）的位置！”
这个想法太棒了！如果根节点永远是最大值，那我们找最大值不就永远是 O(1) 了吗？
好，顺着这个思路继续推导：
-
如果根节点是整个树的最大值，那么对于任何一棵子树来说，这棵子树的根节点也应该是这棵子-树里的最大值。
-
换句话说，对于树中的任意一个节点，它的值都必须大于或等于它所有孩子节点的值。
我们就得到了这个结构的第一条核心属性，我们称之为 “堆序属性” (Heap Property)：
父节点的值 > 子节点的值
(注意：这里没有规定左、右孩子谁大谁小，只规定了父子关系)
这种父节点总是最大的，我们称之为“大顶堆”（Max Heap）。
反之，如果规定父节点总是最小的（父节点 < 子节点），那就是“小顶堆”（Min Heap）。我们下面都以大顶堆为例。
下面这棵树就满足我们刚刚定义的“堆序属性”：
100/ \70 80/ \ /30 40 60但是，下面这棵树，虽然根是最大值，但它不满足堆序属性，因为它局部不满足（80的子树里，根不是80，而是90）。
100/ \70 80/ \ \30 40 90 <-- 这里的 90 比它的父节点 80 大，破坏了规则优化结构 - 物理形态
现在我们有了“堆序属性”，但这还不够。回忆一下，树的查询、插入等操作的效率，通常和什么有关？—— 树的高度。
如果一棵树长得“歪七扭八”，像下面这样，虽然它也满足我们定义的“堆序属性”：
100/70/60/
30这棵树几乎退化成了一个链表，它的高度是 O(n)。如果我们基于这样的结构去进行插入和删除操作，效率肯定不会高。
怎样让树的高度尽可能低？—— 让它尽可能地“胖”起来，也就是让节点尽可能地铺满每一层。
你已经学过了，这种“尽可能铺满”的树，有一个专门的名字，叫 “完全二叉树” (Complete Binary Tree)。
它的定义是：一棵二叉树，除了最后一层外，其他各层节点数都达到最大，并且最后一层的节点都连续集中在最左边。
所以，为了保证效率，我们给堆加上第二条核心属性，我们称之为 “结构属性” (Shape Property)：
堆必须是一棵完全二叉树。
现在，把我们从第一性原理推导出的两条属性结合起来，就得到了“堆”的严格定义：
堆（Heap）是一个完全二叉树，并且满足堆序属性（父节点的值总是不小于其子节点的值）。
这就是堆的本质。它巧妙地结合了两种特性：
-
值的顺序性 (堆序属性)：保证了根节点一定是最大值。
-
结构的平衡性 (完全二叉树)：保证了树的高度是 O(logn)，为日后高效的插入、删除操作打下了基础。
堆的存储 - 从“树”到“数组”
现在我们逻辑上定义了堆是一棵“完全二叉树”，但在C/C++代码里怎么表示它呢？
用常规的指针方式定义树节点当然可以：
struct TreeNode {int data;TreeNode* left;TreeNode* right;
};但对于“完全二叉树”这种结构极其规整的树来说，用指针太浪费了！因为它的节点排列没有任何“空隙”，我们可以非常巧妙地用一个数组来存储它，而且只用数组就够了，不需要任何指针！
怎么做呢？我们把树的节点按层序遍历（从上到下，从左到右）的顺序，依次放入数组中。
神奇的地方来了：在这种存储方式下，任意一个节点和它的父、子节点在数组中的下标（index）都有着固定的数学关系。
为了公式更简洁，我们先假设数组从下标 1 开始存储。对于数组中下标为 i 的节点：
-
它的父节点下标是:
floor(i / 2)(i除以2向下取整) -
它的左孩子下标是:
2 * i -
它的右孩子下标是:
2 * i + 1
验证一下：
-
节点
80(下标为3)：-
父节点是
floor(3/2) = 1，对应的值是100。正确。
-
-
节点
70(下标为2)：-
左孩子是
2 * 2 = 4，对应的值是30。正确。 -
右孩子是
2 * 2 + 1 = 5，对应的值是40。正确。
-
这个性质至关重要！它意味着我们可以抛弃复杂的指针操作，只用简单的下标运算就能在树的结构里上下游走。
这不仅代码简单，而且由于数组在内存中是连续存储的，缓存命中率更高，实际运行效率也常常优于指针实现。
逐步实现代码（C/C++）
根据上面的推导，我们现在可以定义出堆的基本结构。暂时不包含任何操作，只定义它的“骨架”。
1. 定义堆的结构体
一个堆需要什么？
-
一个指向数据的指针（数组的首地址）。
-
记录当前已经存了多少个元素。
-
记录这个数组总共能存多少个元素（容量）。
// 为了方便，我们用 C++ 的语法来写，但其思想和 C 语言是完全一致的。
// 你可以把 new/delete 看作是 malloc/free。// 堆的结构定义
struct Heap {int* data; // 用一个整型指针指向我们的数组，数组里存放堆的数据int size; // 记录当前堆中有多少个元素int capacity; // 记录堆的最大容量（数组有多大）
};这就是堆在内存中的样子，一个非常简单的结构体。
2. 创建一个堆
我们需要一个函数来初始化这个结构体。
#include <iostream> // 只是为了后面可能的输出// 创建并初始化一个堆
Heap* createHeap(int capacity) {// 1. 为 Heap 结构体本身分配内存Heap* h = new Heap;if (!h) {// 内存分配失败return nullptr;}// 2. 为存储数据的数组分配内存// 注意：我们故意多分配一个空间，让数组从下标 1 开始使用，这样公式更简单。// 但在C/C++中，数组通常从0开始，我们后面会统一到0-based。// 这里为了讲解方便，先用 1-based 的思路。// 不过，为了让你平滑过渡到标准实现，我们还是用 0-based 来写代码。h->data = new int[capacity];if (!h->data) {// 内存分配失败delete h;return nullptr;}// 3. 初始化其他成员h->size = 0; // 一开始堆是空的h->capacity = capacity;return h;
}3. 实现下标计算的辅助函数
现在，我们把前面推导的下标关系用代码实现。在C/C++中，数组下标都是从 0 开始的 (0-based)。公式需要做一点点调整，但原理完全一样。
对于数组中下标为 i 的节点：
-
它的父节点下标是:
(i - 1) / 2(整数除法自动向下取整) -
它的左孩子下标是:
2 * i + 1 -
它的右孩子下标是:
2 * i + 2
我们把它们写成几个小函数，这样代码会非常清晰：
// 辅助函数，根据一个节点的下标，返回其父节点的下标
// (这是 0-based 数组的公式)
int parent(int i) {return (i - 1) / 2;
}// 返回左孩子的下标
int leftChild(int i) {return 2 * i + 1;
}// 返回右孩子的下标
int rightChild(int i) {return 2 * i + 2;
}到这里，我们已经完成了对“堆”这个数据结构的静态定义和基础准备。我们从一个实际问题出发，推导出了堆的两个核心属性，并最终选择用数组这种高效的方式来存储它，还准备好了在数组中模拟树形关系的基础代码。
你现在应该对“堆是什么”以及“为什么是这样设计的”有了清晰的认识。下一步，我们就可以在今天搭建的这个骨架之上，去学习如何进行插入、删除等动态操作了。