数据结构——算法设计的基本思想（穷举、递归、分治等）

（1）穷举法（Brute Force）

穷举法的基本思想是：列举所有可能的情况，逐一验证，直到找到问题的解或证明无解。

• 优点：通用性强，思路简单，容易实现。
• 缺点：效率低，通常时间复杂度较高。

例子：
判断一个数组中是否存在两个数的和为 $k$。穷举法的做法是枚举所有数对，检查其和是否等于 $k$，复杂度为 $O(n^2)$。

在考研中，穷举法往往作为起点，在此基础上再引入优化（如排序 + 双指针，将复杂度降为 $O(n\log n)$）。

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（2）递归法（Recursion）

递归是一种“函数直接或间接调用自身”的思想。其核心在于：把原问题分解为规模更小、形式相同的子问题来求解。

• 关键要素：递归出口（终止条件） + 递归式（自我调用）。
• 优点：描述简洁，符合问题的自然结构。
• 缺点：可能导致栈空间开销大，效率较低。

例子：
斐波那契数列：

$$F(n)=\{\begin{array}{ll}0,& n=0\\ 1,& n=1\\ F(n-1)+F(n-2),& n>1\end{array}$$

直接递归的效率为 $O(2^n)$，但通过记忆化搜索或动态规划可降为 $O(n)$。

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（3）分治法（Divide and Conquer）

分治法的基本思想是：把一个规模较大的问题分解为若干规模较小但结构相同的子问题，分别求解后再合并结果。

• 步骤：分解（Divide）→ 递归求解（Conquer）→ 合并（Combine）。
• 优点：常能显著降低复杂度；适合处理大规模数据。
• 典型应用：排序（归并排序、快速排序）、搜索（二分查找）、矩阵运算。

例子：
归并排序：

• 分解：把数组分成左右两半；
• 求解：递归排序左右子数组；
• 合并：将两个有序子数组合并。
  其时间复杂度为 $O(n\log n)$。

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（4）其它常见思想（简要了解）

除了上述三种，考研中还会涉及一些常见的算法思想：

• 贪心（Greedy）：在每一步选择当前最优解，期望最终得到整体最优解。例如最小生成树（Prim、Kruskal）、哈夫曼编码。
• 动态规划（Dynamic Programming）：通过保存子问题的解来避免重复计算。例如背包问题、最长公共子序列。
• 回溯法（Backtracking）：在搜索过程中尝试构造解，不符合条件时立即回退。例如八皇后问题、数独求解。
• 分支限界法（Branch and Bound）：在搜索树中利用上下界估计剪枝，避免无效搜索。

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小结

• 穷举法：简单直接，效率低。
• 递归法：问题自我分解，但要注意效率和栈开销。
• 分治法：分解 + 合并，效率常为 $O(n\log n)$。
• 其它思想（贪心、动态规划、回溯）在后续章节会结合具体数据结构深入讲解。

在考研复习中，理解这些思想能帮助我们在遇到陌生题目时快速找到突破口。