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动态规划：为什么暴力算法会有重复子问题

news 2025/8/27 6:27:27

第一步：先明确 “子问题” 和 “重复子问题” 的定义

在算法中，“子问题” 不是泛指 “小一点的问题”，而是具有明确 “状态参数” 的、可独立求解的问题单元。

状态参数：描述子问题核心信息的变量（比如 01 背包中的 “剩余物品范围” 和 “剩余背包容量”，斐波那契中的 “第 n 项”）。
重复子问题：若两个子问题的 “所有状态参数完全相同”，则它们是重复子问题 —— 意味着这两个子问题的解完全一致，无需重复计算。

第二步：以 01 背包为例，拆解暴力递归的重复子问题

01 背包的暴力解法是 “递归枚举每个物品的‘选 / 不选’”，我们通过具体路径分析重复子问题的产生过程。

1. 01 背包的暴力递归逻辑回顾

暴力递归函数定义：dfs(i, c) = 考虑前i+1个物品（0~i）、剩余容量c时的最大价值。
对每个物品i，有两种选择：

不选：递归调用dfs(i-1, c)；
选（若w[i] ≤ c）：递归调用v[i] + dfs(i-1, c - w[i])。

2. 暴力枚举的 “路径冗余” 导致重复子问题

假设我们有 3 个物品：w = [2,3,4]，v = [3,4,5]，背包容量C=7。我们分析 “计算dfs(2, 7)（前 3 个物品，容量 7）” 时的路径：

为了计算dfs(2,7)，需要先计算两个子问题：

不选物品 2（重量 4）：需计算dfs(1,7)（前 2 个物品，容量 7）；
选物品 2（重量 4）：需计算4 ≤7，因此需计算5 + dfs(1, 7-4)=5 + dfs(1,3)（前 2 个物品，容量 3）。

接下来计算dfs(1,7)（前 2 个物品，容量 7）：
dfs(1,7)又依赖两个子问题：

不选物品 1（重量 3）：需计算dfs(0,7)（前 1 个物品，容量 7）；
选物品 1（重量 3）：需计算4 + dfs(0, 7-3)=4 + dfs(0,4)（前 1 个物品，容量 4）。

再计算dfs(1,3)（前 2 个物品，容量 3）：
dfs(1,3)也依赖两个子问题：

不选物品 1（重量 3）：需计算dfs(0,3)（前 1 个物品，容量 3）；
选物品 1（重量 3）：需计算4 + dfs(0, 3-3)=4 + dfs(0,0)（前 1 个物品，容量 0）。

现在重点来了：
如果我们继续枚举其他路径（比如 “选物品 0、不选物品 1” 和 “不选物品 0、选物品 1”），会发现：

计算dfs(0,7)、dfs(0,4)、dfs(0,3)、dfs(0,0)这些子问题时，它们的状态参数（i=0+ 不同c）会在多个不同的 “选 / 不选” 组合路径中反复出现。

比如dfs(0,3)（前 1 个物品，容量 3）：

路径 1：不选物品 2 → 不选物品 1 → 处理物品 0（此时状态是i=0, c=3）；
路径 2：选物品 2 → 不选物品 1 → 处理物品 0（此时状态也是i=0, c=3）。

这两条完全不同的路径，最终指向了同一个子问题（i=0, c=3），暴力解法会对这个子问题重复计算两次 —— 这就是重复子问题的根源。

第三步：再看斐波那契，理解 “指数级重复” 的本质

斐波那契的暴力递归（无记忆化）是 “重复子问题” 的极端案例，能更直观看到 “重复计算的爆炸式增长”。

1. 斐波那契的暴力递归逻辑

fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)，终止条件fib(0)=0，fib(1)=1。

2. 递归树中的重复子问题

以fib(5)为例，其递归树如下：

fib(5)
├─ fib(4)
│  ├─ fib(3)
│  │  ├─ fib(2)
│  │  │  ├─ fib(1)  # 重复计算
│  │  │  └─ fib(0)  # 重复计算
│  │  └─ fib(1)      # 重复计算
│  └─ fib(2)
│     ├─ fib(1)      # 重复计算
│     └─ fib(0)      # 重复计算
└─ fib(3)├─ fib(2)│  ├─ fib(1)      # 重复计算│  └─ fib(0)      # 重复计算└─ fib(1)          # 重复计算

可以看到：

fib(3)被计算了 2 次，fib(2)被计算了 3 次，fib(1)被计算了 5 次 —— 子问题的重复次数随n呈指数级增长。
暴力解法没有记录这些子问题的解，每次遇到fib(k)都要重新递归到底，导致时间复杂度达到O(2^n)。

第四步：总结暴力算法产生重复子问题的核心原因

暴力算法（尤其是递归枚举类）之所以会有重复子问题，本质是 **“枚举路径的冗余” 与 “子问题状态的共享” 之间的矛盾 **：

枚举路径的冗余：暴力解法为了覆盖 “所有可能的解”，会枚举大量不同的选择路径（比如 01 背包的 “选 / 不选” 组合、斐波那契的 “先算 n-1 还是 n-2”）。这些路径看似不同，但在 “逐步拆解为子问题” 的过程中，会不可避免地交汇到相同的状态。
子问题状态的共享：子问题的解只由 “状态参数” 决定（与到达该状态的路径无关）。比如 01 背包的dfs(i,c)，无论通过 “选 A 不选 B” 还是 “不选 A 选 B” 到达，解都是相同的 —— 但暴力解法没有利用这种 “共享性”，而是对每条路径上的相同状态重复计算。

关键对比：为什么分治算法（如归并排序）没有重复子问题？

很多人会疑惑：“分治也拆分子问题，为什么没有重复子问题？”—— 这能帮我们进一步理解本质：
分治算法（如归并排序、快速排序）的子问题是 “不重叠、无共享” 的。比如归并排序将数组拆分为 “左半部分” 和 “右半部分”，左半部分的子问题和右半部分的子问题完全独立（状态参数无交集），不会出现 “同一个状态被两个不同子问题依赖” 的情况，因此无需处理重复子问题。

而暴力递归（如 01 背包、斐波那契）的子问题是 “重叠、共享” 的 —— 不同的父问题可能依赖同一个子问题，这才导致了重复计算。